Espace localement convexe

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En mathématiques, un espace localement convexe est un espace vectoriel qui peut être défini à l'aide d'une famille de semi-normes. C'est une généralisation de la notion d'espace normé.

Définition[modifier | modifier le code]

Un espace vectoriel topologique E est dit localement convexe s'il vérifie l'une des deux propriétés équivalentes suivantes :

  1. il existe une famille de semi-normes \mathcal{P} telle que la topologie de E est initiale pour les applications \{x\mapsto p(x-y) \; ; \; y\in E,p\in\mathcal{P}\} ;
  2. le vecteur nul possède une base de voisinages formée de convexes.

Dans ce cas, la famille de semi-normes peut toujours être choisie filtrante.

Exemples[modifier | modifier le code]

Critère de séparation[modifier | modifier le code]

Théorème — Pour qu'un espace localement convexe E défini par une famille \quad (p_i)_{i \in I} de semi-normes soit séparé, il faut et il suffit que pour tout vecteur non nul \quad v\in E il existe une semi-norme \quad p_i telle que \quad p_i(v) \ne 0.

En effet, un espace vectoriel topologique est séparé si et seulement si l'intersection des voisinages de 0 est réduite au singleton {0}, autrement dit si et seulement si pour tout vecteur v non nul, il existe un voisinage de 0 ne contenant pas v.

Continuité d'une fonction[modifier | modifier le code]

Soient (E,\mathcal P),(F,\mathcal Q) deux espaces localement convexes, dont les topologies sont respectivement définies par des familles de semi-normes \mathcal P (supposée filtrante) et \mathcal Q (quelconque), et f une application du premier espace dans le second. La proposition suivante résulte des définitions.

Proposition — 

  • f est continue en un point v de E si et seulement si

\forall q \in\mathcal Q\quad \forall \epsilon >0 \quad \exists p\in \mathcal P\quad\exists \alpha >0\quad\forall w\in E\quad p(w-v)<\alpha\quad\Rightarrow\quad q(f(w)-f(v))<\epsilon\ .

\forall q\in\mathcal Q\quad\forall\epsilon >0\quad\exists p\in\mathcal P\quad\exists\alpha >0\quad\forall v \in E\quad\forall w\in E\quad p(w-v)<\alpha\quad\Rightarrow\quad q(f(w)-f(v))<\epsilon\ .

Par exemple (en prenant F=\R et \mathcal Q=(|\ |)), toutes les semi-normes appartenant à \mathcal P sont uniformément continues sur E (car 1-lipschitziennes). Une semi-norme q sur E est en fait uniformément continue si et seulement si elle est continue en 0, ce qui équivaut à l'existence d'une semi-norme p\mathcal P et d'une constante C > 0 telles que q ≤ Cp. On en déduit un analogue pour les applications linéaires :

Proposition — Une application linéaire T:E\to F est uniformément continue si et seulement si elle est continue en 0, ce qui se traduit par :
\forall q \in\mathcal Q\quad\exists p\in\mathcal P\quad\exists C >0\quad\forall v \in E\quad 
q(T(v))\le C\ p(v)\ .

Métrisabilité[modifier | modifier le code]

Théorème — Soit E un espace localement convexe séparé, dont la topologie est définie par une famille \mathcal P de semi-normes. Les conditions suivantes sont équivalentes :

  1. E est métrisable.
  2. Tout point de E possède une base dénombrable de voisinages.
  3. La topologie de E peut être définie par une sous-famille dénombrable \mathcal D\subset\mathcal P de semi-normes.
  4. La topologie de E peut être définie par une famille dénombrable filtrante de semi-normes.
  5. La topologie de E peut être définie par une distance invariante par translation.

Remarquons que tout espace vectoriel normé est localement convexe et métrisable. Cependant la réciproque n'est pas vraie : par exemple l'espace de Schwartz est de Fréchet, en particulier localement convexe et métrisable, mais nucléaire et de dimension infinie, donc non normable.

Les analogues pour p < 1 des espaces Lp avec p ≥ 1 sont métrisables par une distance invariante, mais ne sont pas localement convexes.

Espace de Fréchet[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Espace de Fréchet.

Un espace de Fréchet est un espace localement convexe qui est à la fois métrisable et complet au sens des espaces uniformes, ou plus simplement : un espace localement convexe complètement métrisable (c'est-à-dire dont la topologie est induite par une distance complète).

Note et référence[modifier | modifier le code]

  1. Pour une démonstration n'utilisant pas le théorème de Birkhoff-Kakutani, voir par exemple Claude Wagschal, Topologie et analyse fonctionnelle, Hermann, coll. « Méthodes »,‎ 1995.

Articles connexes[modifier | modifier le code]