Cône (analyse convexe)

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En mathématiques, et plus précisément en analyse convexe, un cône est une partie d'un espace vectoriel réel qui est stable pour la multiplication par un réel strictement positif. De manière plus précise, K est un cône si t\,x\in K chaque fois que t>0 et x\in K. Un cône peut ou non contenir l'origine (d'où la nécessité de prendre des scalaires strictement positifs dans la définition ci-dessus). Cette définition du cône généralise la notion géométrique de cône de l'espace euclidien de dimension trois.

Beaucoup d'ensembles ont une structure conique : orthant positif, cône des matrices symétriques définies positives (ne contient pas l'origine) ou semi-définies positives (contient l'origine), etc. Les cônes apparaissent également dans diverses constructions : cône tangent à un ensemble, cône asymptotique d'un ensemble, enveloppe conique, etc.

Définitions[modifier | modifier le code]

Notations[modifier | modifier le code]

Soit \mathbb{E} un espace vectoriel réel (les scalaires sont les éléments de \R). On note


\begin{array}{rcl}
\R_+&:=&\{t\in\R: t\geqslant0\},\\
\R_{++}&:=&\{t\in\R: t>0\}.
\end{array}

Si \Lambda\subset\R et P\subset\mathbb{E}, on définit


\Lambda\,P:=\{\lambda\,x:\lambda\in\Lambda,~x\in P\}.

Cône[modifier | modifier le code]

Cône — On dit qu'une partie K\subset\mathbb{E} est un cône si


\R_{++}\,K\subset K,

ce qui signifie que t\,x\in K chaque fois que t>0 et x\in K.

Exemples de cônes :

Différents types de cônes[modifier | modifier le code]

Soit K un cône d'un espace vectoriel \mathbb{E}. On dit que

  • K est convexe, s'il est aussi convexe ; pour un cône, cela revient à dire que K+K\subset K ;
  • K est convexe polyédrique, s'il est aussi convexe et polyédrique (donc une intersection d'un nombre fini de demi-espaces), ce qui revient à dire qu'il existe une application linéaire A:\mathbb{E}\to\R^m, avec m entier \geqslant1, telle que
    
K=\{x\in\mathbb{E}:A(x)\in\R^m_+\}=A^{-1}(\R^n_+).
  • K est saillant, si K\cap(-K)\subset\{0\}, ce qui revient à dire qu'il ne contient pas de droite (sous-espace vectoriel de dimension 1) ;
  • K est pointé si 0\in K (et épointé dans le cas contraire).

Rayon extrême[modifier | modifier le code]

Un rayon d'un espace vectoriel \mathbb{E} est une partie de \mathbb{E} de la forme \R_+x avec x\in\mathbb{E}\setminus\{0\}[2]. Il s'agit donc un cône convexe fermé de dimension 1. On dit que x génère le rayon.

On dit qu'un rayon est un rayon extrême d'un cône K s'il est généré par un vecteur x\in K\setminus\{0\} et si la propriété suivante a lieu


x=x_1+x_2,~~
x_1\in K,~~
x_2\in K
\qquad\Longrightarrow\qquad
x_1
~\mbox{et}~
x_2\in\R_+x.

Cette propriété rappelle celle d'une arête (ou face de dimension 1) d'un convexe. Cependant, si le cône n'est pas convexe, la notion d'arête n'est pas définie, alors que la notion de rayon extrême ne demande pas cette convexité. Par ailleurs, si le cône convexe n'est pas saillant, une arête peut être un sous-espace vectoriel de dimension 1 et donc ne pas vérifier la propriété ci-dessus ; par exemple, \R e^1 est une arête du cône \{x\in\R^2:x_2\geqslant0\}, qui n'est pas saillant, mais n'est pas un rayon extrême de ce cône. En réalité, on a la propriété suivante.

Arête d'un cône convexe saillant — Les arêtes d'un cône convexe saillant pointé sont les rayons extrêmes de ce cône.

Enveloppe conique[modifier | modifier le code]

Une intersection de cônes convexes étant un cône convexe, on peut parler du plus petit cône convexe contenant une partie P\subset\mathbb{E}, qui est donc l'intersection de tous les cônes convexes contenant P. C'est ce que l'on appelle l'enveloppe conique de P (on devrait dire l'enveloppe conique convexe, mais en analyse convexe, le terme convexe est sous-entendu). C'est clairement un cône convexe contenant P.

Enveloppe et combinaison coniques — L'enveloppe conique d'une partie P\subset\mathbb{E} est le plus petit cône convexe contenant P. On la note


\operatorname{cone}\,P:=\bigcap\bigl\{K: K~\mbox{est un cône convexe contenant}~P\bigr\}.

On appelle combinaison conique de \mathbb{E}, un élément x de \mathbb{E} de la forme


x=\sum_{i=1}^mt_ix_i,

m est un entier non nul, les t_i sont des réels positifs et les vecteurs x_i\in \mathbb{E}.

Les notions d'enveloppe conique et de combinaison conique sont liées, comme le montre le résultat suivant.

Enveloppe et combinaison coniques — 

  1. Un ensemble est un cône convexe si, et seulement si, il contient toutes les combinaisons coniques de ses éléments.
  2. L'enveloppe conique de P est l'ensemble des combinaisons coniques de ses éléments :


\operatorname{cone}\, P=
\left\{
\sum_{i=1}^mt_ix_i:
m\in\mathbb{N}^*,~
t_i\in\mathbb{R}_+,~
x_i\in P
\right\}.

Annexes[modifier | modifier le code]

Note[modifier | modifier le code]

  1. Appellation donnée par Faraut et Korányi (1994), page 7.
  2. Bermann et Shaked-Monderer (2003) ne supposent pas que x\ne0.

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • (en) A. Berman, N. Shaked-Monderer (2003). Completely Positive Matrices. World Scientific, River Edge, NJ, USA.
  • (en) J. M. Borwein, A. S. Lewis (2000). Convex Analysis and Nonlinear Optimization. Springer, New York.
  • N. Bourbaki (2007). Eléments de Mathématique. Espaces Vectoriels Topologiques: Chapitres 1 à 5. Springer.
  • (en) J.-B. Hiriart-Urruty, C. Lemaréchal (1993). Convex Analysis and Minimization Algorithms. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 305-306. Springer-Verlag.
  • (en) J.-B. Hiriart-Urruty, C. Lemaréchal (2001). Fundamentals of convex analysis. Springer-Verlag, Berlin.
  • (en) R.T. Rockafellar (1970). Convex Analysis. Princeton Mathematics Ser. 28. Princeton University Press, Princeton, New Jersey.