Théorème de Krein-Milman

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Le théorème de Krein-Milman est un théorème, démontré par Mark Krein et David Milman en 1940[1], qui généralise à certains espaces vectoriels topologiques un résultat géométrique portant sur les ensembles convexes énoncé par Hermann Minkowski en dimension finie (et souvent improprement dénommé lui-même « théorème de Krein-Milman »).

Une forme particulièrement simplifiée du théorème s'énonce : tout polygone convexe est l'enveloppe convexe de l'ensemble de ses sommets. Cela est vrai aussi d'un polytope convexe.

Notion de « point extrémal »[modifier | modifier le code]

Les points extrémaux sont ceux représentés en rouge

Soit C un convexe et c un point de C. On dit que c est un point extrémal de C lorsque C \setminus\{c\} est encore convexe. Cela équivaut à dire que, avec c_1,c_2\in C, l'égalité c=\frac{c_1+c_2}{2} implique c_1=c_2=c.

Énoncé en dimension finie[modifier | modifier le code]

Théorème — Tout convexe compact d'un espace affine de dimension finie est enveloppe convexe de l'ensemble de ses points extrémaux.

La démonstration n'est pas très longue, l'outil essentiel étant le théorème d'existence d'un hyperplan d'appui en tout point de la frontière d'un convexe.

Généralisation en dimension infinie[modifier | modifier le code]

Théorème — Tout convexe compact d'un espace localement convexe séparé est l'enveloppe convexe-fermée de l'ensemble de ses points extrémaux.

La « réciproque (partielle) de Milman »[2] assure que cette représentation d'un convexe compact K comme enveloppe convexe-fermée d'une partie de K est, en un certain sens, optimale : l'adhérence d'une telle partie contient les points extrémaux de K.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) M. Krein et D. Milman, « On the extreme points of regularly convex sets », Studia Mathematica, vol. 9,‎ 1940, p. 133-138
  2. (en) David Milman, « Characteristics of extremal points of regularly convex sets », Doklady Akad. Nauk SSSR (N.S.), vol. 57,‎ 1947, p. 119-122.

Jean-Baptiste Hiriart-Urruty et Claude Lemaréchal, Fundamentals of convex analysis, coll. « Grundlehren Text Editions », Springer, 2001 (ISBN 3540422056), p. 41-42, 57 et 246

Article connexe[modifier | modifier le code]

Théorème de Russo-Dye (en)