Semi-continuité

En analyse mathématique, la semi-continuité est une propriété des fonctions définies sur un espace topologique et à valeurs dans la droite réelle achevée $\overline{\mathbb{R}}=\mathbb{R} \cup \{-\infty, +\infty\}$ ; il s'agit d'une forme faible de la continuité. Intuitivement, une telle fonction $f~$ est dite semi-continue supérieurement en $x_0~$ si, lorsque $x~$ est proche de $x_0~$, $f(x)~$ est soit proche de $f(x_0)~$, soit inférieur à $f(x_0)~$. Pour définir semi-continue inférieurement, on remplace « inférieur à » par « supérieur à » dans la définition précédente.

Exemples

Une fonction semi-continue supérieurement (le point complètement bleu indique f(x₀)

Une fonction semi-continue inférieurement (le point complètement bleu indique f(x₀)

Considérons la fonction f définie par $f(x) = -1~$ pour $x\ne 0~$ et $f(0)=1~$. Cette fonction est semi-continue supérieurement, mais non semi-continue inférieurement.

La fonction partie entière $f(x)=\lfloor x \rfloor$, qui retourne le plus grand entier inférieur ou égal au $x~$ donné, est partout semi-continue supérieurement.

La fonction f définie par $f(x) =\sin(1/x)~$ pour $x\ne 0~$ et $f(0)=1~$ est partout semi-continue supérieurement (mais n'admet pas de limite à gauche ni à droite en 0).

La fonction de répartition d'une variable aléatoire réelle est semi-continue supérieurement.

Longueur

Article détaillé : Longueur d'un arc.

Les fonctions lipschitziennes de [0,1] vers l'espace Rⁿ forment un espace vectoriel réel, noté ici E. Il est muni de la topologie C^0,1, celle définie par la norme

$N(f)=\sup_{0\leq t\leq 1}|f(t)|+\sup_{s\neq t}\frac{|f(t)-f(s)|}{|t-s|}$.

La longueur de la courbe f est définie par

$L(f)=\sup \sum_{i=1}^k |f(t_i)-f(t_{i-1})|$

où le supremum porte sur toutes les partitions finies $0=t_0\leq t_1\leq \dots \leq t_k=1$. La longueur L(f) est un nombre fini, et la fonction L est semi-continue inférieurement. Cela signifie exactement que, pour tout réel positif r, la partie $\{f\in E,\, L(f)\leq r\}$ est fermé pour la topologie C^0,1.

Définitions formelles

Soit $X~$ un espace topologique, $x_0~$ un point de $X~$ et $f : X \to \overline{\mathbb{R}}$ une fonction.

Semi-continuité supérieure

On dit que $f~$ est semi-continue supérieurement en $x_0~$ si l'une des propriétés équivalentes suivantes est vérifiée :

• pour tout $\varepsilon > 0 ~$, il existe un voisinage $U~$ de $x_0~$ tel que pour tout $x\in U~$ : $f(x) \leq f(x_0)+\varepsilon$ ;
• $\limsup_{x \to x_{0}} f(x) \leq f(x_{0})$, où $\limsup$ désigne la limite supérieure (d'une fonction en un point).

La fonction $f~$ est dite semi-continue supérieurement si l'une des propriétés équivalentes suivantes est vérifiée :

• $f~$ est semi-continue supérieurement en tout point de $X~$ ;
• pour tout $\alpha \in \R$, l'ensemble de sur-niveau $\{x \in X : f(x)\geq\alpha \}$ est fermé ;
• l'hypographe $\{(x,\alpha)\in X\times\R: f(x) \geq\alpha\}$ est fermé.

Semi-continuité inférieure

Les notions de semi-continuité inférieure d'une fonction se définissent de manière analogue, par symétrie car elles reviennent aux notions correspondantes de semi-continuité supérieure de la fonction opposée.

On dit que $f~$ est semi-continue inférieurement en $x_0~$ si l'une des propriétés équivalentes suivantes est vérifiée :

• pour tout $\varepsilon > 0 ~$, il existe un voisinage $U~$ de $x_0~$ tel que pour tout $x\in U~$ : $f(x) \geq f(x_0)-\varepsilon$ ;
• $\liminf_{x \to x_{0}} f(x) \geq f(x_{0})$, où $\liminf$ désigne la limite inférieure (d'une fonction en un point).

La fonction $f~$ est dite semi-continue inférieurement si l'une des propriétés équivalentes suivantes est vérifiée :

• $f~$ est semi-continue inférieurement en tout point de $X~$ ;
• pour tout $\alpha \in \R$, l'ensemble de sous-niveau $\{x \in X : f(x)\leq\alpha \}$ est fermé ;
• l'épigraphe $\{(x,\alpha)\in X\times\R: f(x) \leq\alpha\}$ est fermé.

En analyse convexe, où l'épigraphe d'une fonction joue un rôle particulier (il est convexe si et seulement si la fonction est convexe), une fonction semi-continue inférieurement est dite fermée (parce que son épigraphe est fermé).

Propriétés

Une fonction est continue en un point si et seulement si elle est semi-continue supérieurement et inférieurement en ce point.

Si $f~$ et $g~$ sont deux fonctions semi-continues supérieurement en $x_0~$, alors $f+g~$ l'est aussi. Si de plus les deux fonctions sont à valeurs positives ou nulles, leur produit $fg~$ est également semi-continu supérieurement en $x_0~$. Le produit d'une fonction semi-continue supérieurement par un réel négatif est une fonction semi-continue inférieurement.

Soit $(f_i)_{i\in I}$ une famille de fonctions semi-continues inférieurement de X dans $\overline{\mathbb{R}}$ et

$f(x) = \sup {\{f_i(x)\; |\; i\in I\}}$

pour tout $x~$ dans $X~$. Alors $f~$ est semi-continue inférieurement. En effet, pour tout réel $\alpha~$, l'ensemble

$U_\alpha =\{x\in X, f(x)>\alpha\}$

est la réunion des ensembles $U_{\alpha,i} =\{x\in X\; |\; f_i(x)>\alpha\}$ : c'est une réunion d'ouverts, il est donc lui-même ouvert.

Par contre, même si toutes les fonctions $f_i~$ sont continues, $f~$ n'est pas nécessairement continue : en fait, sur un espace uniforme, toute fonction semi-continue inférieurement est le sup d'une famille de fonctions continues (sur un espace métrique cette famille peut même être choisie dénombrable).

La fonction caractéristique d'un ouvert est semi-continue inférieurement. La fonction caractéristique d'un fermé est semi-continue supérieurement.

Si $C~$ est un compact (par exemple un intervalle fermé $[a,b]~$ de $\mathbb{R}$) et si $f : C \to \R$ est semi-continue supérieurement, alors $f~$ est majorée sur $C~$ et atteint sa borne supérieure. La propriété est analogue pour la borne inférieure d'une fonction semi-continue inférieurement. Ces propriétés généralisent le théorème des bornes.

Semi-continuité faible

Dans le cas où $X~$ est un espace vectoriel topologique, on dit que la fonction $f~$ est faiblement semi continue (inférieurement ou supérieurement) lorsque la limite dans la définition de semi-continuité est prise au sens de la topologie faible. Afin d'éviter les ambiguïtés, on écrira parfois fortement semi continue pour désigner la semi-continuité définie pour la topologie forte.