Épigraphe (mathématiques)

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Cet article court présente un sujet plus développé dans : Fonction convexe.

Soit $f$ une fonction définie sur un ensemble $\mathbb{E}$ à valeurs dans la droite réelle achevée $\bar{\R}:=\R\cup\{-\infty,+\infty\}$. L'épigraphe de $f$ est l'ensemble noté $\operatorname{epi}\,f$ et défini par

$\operatorname{epi}\,f := \{(x,\alpha)\in \mathbb{E}\times \R: f(x)\leqslant \alpha\}.$

L'épigraphe stricte de $f$ est l'ensemble noté $\operatorname{epi}_s\,f$ et défini par

$\operatorname{epi}_s\,f := \{(x,\alpha)\in \mathbb{E}\times \R: f(x)< \alpha\}.$

Exemples d'utilisation

L'épigraphe permet de transférer aux fonctions des notions définies pour les ensembles. En voici deux exemples.

• Si $\mathbb{E}$ est un espace topologique, on dit que $f:\mathbb{E}\to\bar{\R}$ est fermée si son épigraphe est fermé. Cette notion de fermeture de $f$ est identique à celle de semi-continuité inférieure.
• Si $\mathbb{E}$ est un espace vectoriel, on dit que $f:\mathbb{E}\to\bar{\R}$ est convexe si son épigraphe est convexe.