Théorème de Gauss-Lucas

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En mathématiques, le théorème de Gauss-Lucas, ou théorème de Lucas, établit une propriété des polynômes complexes. Il énonce que les racines du polynôme dérivé sont situées dans l'enveloppe convexe de l'ensemble des racines du polynôme d'origine.

Ce résultat est utilisé de façon implicite en 1836 par Carl Friedrich Gauss et prouvé en 1874 par Félix Lucas[1],[2].

Motivation[modifier | modifier le code]

Il est facile de remarquer que si P(x) =ax^2+ bx +c est un polynôme du second degré, le zéro de P ' est la demi-somme des zéros de P.

Par ailleurs, si un polynôme de degré  n à coefficients réels admet n zéros réels distincts x_1<x_2<...<x_n, on voit en utilisant le théorème de Rolle que les zéros du polynôme dérivé sont dans l'intervalle [x_1,x_n].

Le résultat suivant peut être vu comme une généralisation de cette propriété des polynômes.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Soit  P un polynôme non constant à coefficients complexes. Alors tout zéro de P ' appartient à l'enveloppe convexe de l'ensemble des zéros de P.

Preuve[modifier | modifier le code]

Soit P(z)= c\prod_{i=1}^r (z-a_i)^{n_i} la décomposition de P en facteurs irréductibles : le complexe c est le coefficient dominant du polynôme, les complexes a_i en sont les zéros distincts, les entiers n_i leurs multiplicités.

On a alors

 \frac{P^\prime(z)}{P(z)}= \sum_{i=1}^r\frac{n_i}{z-a_i}

En particulier,

\hbox{si}\quad P^\prime(z)=0\quad\hbox{et}\quad P(z)\ne0,


   \sum_{i=1}^r\frac{n_i}{z-a_i}=0\quad  \hbox{ou encore}\quad 
\ \sum_{i=1}^rn_i\frac{\overline{z}-\overline{a_i} } {\vert z-a_i\vert^2}=0,

ce qui s'écrit aussi

\left(\sum_{i=1}^r\frac{n_i}{\vert z-a_i\vert^2}\right)\overline{z}= \sum_{i=1}^r\frac{n_i}{\vert z-a_i\vert^2}\overline{a_i} .


En prenant les conjugués, on voit que z est un barycentre à coefficients positifs des a_i.

Le cas où z est aussi zéro de P est évident.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Félix Lucas, Sur une application de la Mécanique rationnelle à la théorie des équations, C.R. Hebd. Séances Acad. Sci. LXXXIX (1879), 224–226 [lire en ligne]
  2. Ne pas confondre avec Édouard Lucas.

Articles connexes[modifier | modifier le code]