Inégalité de Hölder

En analyse, l’inégalité de Hölder, ainsi nommée en l'honneur de Otto Hölder, est une inégalité fondamentale relative aux espaces de fonctions L^p et aux espaces de suites $\ell^p$.

Enoncé

Soient S un espace mesuré, deux nombres réels p et q satisfaisant 1 ≤ p, q ≤ ∞ avec 1/p + 1/q = 1, puis deux fonctions f et g définies sur S et appartenant respectivement aux espaces L^p(S) et L^q(S). Alors le produit f g appartient à L¹(S) et sa norme satisfait l’inégalité de Hölder :

$\|fg\|_1 \le \|f\|_p \ \|g\|_q.$

De plus, il y a égalité si et seulement si $f^p\$ et $g^q\$ sont colinéaires presque partout (pp), c'est-à-dire s’il existe $\alpha$ et $\beta$ non simultanément nuls tels que $\alpha f^p + \beta g^q = 0 \$ pp.

Applications

L’inégalité de Hölder permet d’établir la relation de dualité entre les espaces L^q et L^p.

Elle intervient comme argument permettant de montrer l’inégalité de Minkowski qui est l'inégalité triangulaire pour la norme de L^p.

Cas particuliers

Inégalité de Cauchy-Schwarz 

C’est l’inégalité de Hölder lorsque p = q = 2.

Dimension finie 

Soit S l’ensemble {1,...,n} avec la mesure de dénombrement et 1 ≤ p, q ≤ ∞ avec 1/p + 1/q = 1. Pour tout couple de vecteurs $\vec x$ et $\vec y$ de $\R^n$ (ou de $\C^n$), alors

$\sum_{k=1}^n |x_k \ y_k| \leq \left( \sum_{k=1}^n |x_k|^p \right)^{1/p} \left( \sum_{k=1}^n |y_k|^q \right)^{1/q}.$

En dimension finie, l'inégalité de Hölder peut être démontrée en exprimant les conditions d'optimalité d'un problème de minimisation d'une fonction linéaire sur la boule unité pour la norme $\ell_p$ : voir la section Inégalités de Hölder.

Suites 

L’inégalité précédente se généralise aux suites (ou aux séries selon le point de vue) : si $(x_k)$ et $(y_k)$ sont respectivement dans les espaces de suites $\ell^p$ et $\ell^q$, alors la suite « produit terme à terme » $(x_k \, y_k)$ est dans $\ell^1$.

Généralisation

L’inégalité de Hölder se généralise à plus de 2 fonctions, ceci de la manière suivante :

Soient m réels $p_k$ satisfaisant $\sum_{k=1}^m \frac{1}{p_k} =1$ et m fonctions ${f}_k \in {L}^{p_k}(S)$. Alors le produit $\prod_{k=1}^m {f}_k \in {L}^1(S)$ et sa norme satisfait

$\left\|\prod_{k=1}^m {f}_k\right\|_1 \le \prod_{k=1}^m \left\|f_k\right\|_{p_k}.$

De plus, il y a égalité si et seulement si les $f_k^{p_k}$ sont colinéaires pp.

Démonstration

Lemme : Pour tout vecteur $\vec u \in \R^m$ (ou $\C^m$), alors $\sum_{k=1}^m \frac{1}{p_k} = 1$ implique

$\prod_{k=1}^m |u_k|^{1/p_k} \leq \sum_{k=1}^m \frac{1}{p_k} |u_k|.$

Preuve

Sans restreindre la généralité, supposons qu’aucune composante de $\vec u$ est nulle. La version discrète de l’inégalité de Jensen appliquée avec la fonction « logarithme népérien » qui est concave implique

$\sum_{k=1}^m \frac{1}{p_k}\ln(|u_k|) \leq \ln(\sum_{k=1}^m \frac{1}{p_k} |u_k|).$

La conclusion découle de l’application de l’exponentielle.

Proposition : L’inégalité de Hölder est satisfaite lorsque les $\|f_k\|_{p_{k}}=1.$

Preuve

Avec $u_k = |f_k(x)|^{p_k},$ le lemme précédent implique

$|\prod_{k=1}^m f_k(x)| \leq \sum_{k=1}^m \frac{1}{p_k} |f_k(x)|^{p_k}.$

Après intégration (ou sommation pour les suites), la conclusion découle de l’hypothèse.

La généralité se déduit de l’homogénéité des termes dans l’inégalité de Hölder.

Pour qu’il y ait égalité, il faut et il suffit que tous les $|u_k|$ soient égaux.

Voir aussi

• Inégalité de Cauchy-Schwarz
• Inégalité de Minkowski
• Espace Lp
• Espace des suites $\ell^p$

Bibliographie

• Haïm Brezis, Analyse fonctionnelle : théorie et applications [détail des éditions]
• Walter Rudin, Analyse réelle et complexe [détail des éditions]