Inégalité de Hölder

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En analyse, l’inégalité de Hölder, ainsi nommée en l'honneur de Otto Hölder, est une inégalité fondamentale relative aux espaces de fonctions Lp, comme les espaces de suites p.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Soient

  • S un espace mesuré,
  • p, q > 0 (la valeur +∞ étant permise) vérifiant la « relation de conjugaison »
    \frac1p+\frac1q=1,
  • f ∈ Lp(S) et g ∈ Lq(S).

Alors, le produit fg appartient à L1(S) et sa norme est majorée naturellement :

\|fg\|_1\le\|f\|_p\|g\|_q.

Plus généralement[1], pour 0 < p, q ≤ +∞ et r défini par 1/r = 1/p + 1/q, si f ∈ Lp(S) et g ∈ Lq(S) alors fg ∈ Lr et ║fg║r ≤ ║f║p ║g║q.

De plus, lorsque p et q sont finis, il y a égalité si et seulement si |f|p et |g|q sont colinéaires presque partout (p.p.), c'est-à-dire s’il existe α et β non simultanément nuls tels que α|f|p = β|g|q p.p.

Exemples[modifier | modifier le code]

Inégalité de Cauchy-Schwarz 

Le cas p = q = 2 de l'inégalité de Hölder est un cas particulier de l'inégalité de Cauchy-Schwarz pour les espaces de Hilbert.

Dimension finie 

Lorsqu'on applique l'inégalité de Hölder à l’ensemble S = {1, …, n} muni de la mesure de dénombrement, on obtient, pour 1 ≤ p, q ≤ +∞ avec 1/p + 1/q = 1 et pour tous vecteurs x et y de ℝn (ou de ℂn), l'inégalité

\sum_{k=1}^n |x_k \ y_k| \leq \left( \sum_{k=1}^n |x_k|^p \right)^{1/p} \left( \sum_{k=1}^n |y_k|^q \right)^{1/q}.

Cette inégalité peut aussi être démontrée en exprimant les conditions d'optimalité d'un problème de minimisation d'une fonction linéaire sur la boule unité pour la norme p : voir la section Inégalités de Hölder.

Suites 

L’inégalité précédente se généralise (en prenant, cette fois, S = ℕ) aux suites (ou aux séries selon le point de vue) : si (xk) et (yk) sont respectivement dans les espaces de suites p et q, alors la suite « produit terme à terme » (xk yk) est dans 1.

Cas extrémal[modifier | modifier le code]

Soient 1 ≤ p, q ≤ +∞ avec 1/p + 1/q = 1, S un espace mesuré, de tribu Σ et de mesure μ, et fLp(S).

  • Si p < +∞, alors\|f\|_p=\max\left\{\left|\int fg~\mathrm d\mu\right|~;~g\in\mathrm L^q(S),~\|g\|_q\le1\right\},
  • Si p = +∞ et si tout élément A de la tribu Σ tel que μ(A) = +∞ contient un élément B de Σ tel que 0 < μ(B) < +∞ (ce qui est vrai dès que μ est σ-finie[3]), alors\|f\|_\infty=\sup\left\{\left|\int fg~\mathrm d\mu\right|~;~g\in\mathrm L^1(S),~\|g\|_1\le1\right\}.

Remarques sur le cas p = +∞

  • Même avec l'hypothèse additionnelle de l'énoncé, la borne supérieure n'est pas atteinte en général. Par exemple si x est la suite de définie par xk = 1 – 2k alors, pour toute suite non nulle y de norme inférieure ou égale à 1 dans 1,
    \left|\sum x_ky_k\right|\le\sum(1-2^{-k})|y_k|<\sum|y_k|\le1=\|x\|_\infty.
  • Si A ∈ Σ est de mesure infinie mais ne contient aucun B ∈ Σ de mesure finie non nulle (l'exemple le plus simple étant celui où le seul B ∈ Σ qui soit strictement inclus dans A est ∅) et si f est la fonction indicatrice de A, alors la borne supérieure associée est nulle, tandis que f = 1.

Applications[modifier | modifier le code]

Généralisation[modifier | modifier le code]

L’inégalité de Hölder avec 1/p + 1/q = 1/r se généralise immédiatement à n fonctions, par récurrence :

Soient 0 < r, p1, …, pn ≤ +∞ tels que

\sum_{k=1}^n\frac1{p_k}=\frac1r

et n fonctions fkLpk(S). Alors, le produit des fk appartient à Lr(S) et

\left\|\prod_{k=1}^nf_k\right\|_r\le \prod_{k=1}^n\|f_k\|_{p_k}.
De plus, lorsque tous les pk sont finis, il y a égalité si et seulement si les |fk|pk sont colinéaires p.p.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Hölder's inequality » (voir la liste des auteurs)

  1. Si s < 1, ║ ║s n'est pas une norme en général, mais cela n'intervient pas.
  2. a et b Intégration et Probabilités (M43050) 2010–2011, cours 15 par Bernard Maurey, Université Paris VII - Diderot
  3. comme la mesure de dénombrement sur un ensemble au plus dénombrable ou la mesure de Lebesgue sur ℝn
  4. (en) N. L. Carothers, A Short Course on Banach Space Theory, CUP,‎ 2004 (ISBN 9780521603720, lire en ligne), p. 120, remarque : « Curieusement, la propriété que chaque élément de Lp* atteint sa norme est équivalente au fait que Lp est réflexif, sans avoir en fait rien besoin de savoir sur l'espace dual Lp*  ! ».

Bibliographie[modifier | modifier le code]