Inégalité de Hölder

En analyse, l’inégalité de Hölder, ainsi nommée en l'honneur de Otto Hölder, est une inégalité fondamentale relative aux espaces de fonctions L^p, comme les espaces de suites ℓ^p.

Énoncé

Soient

• S un espace mesuré,
• p, q > 0 (la valeur +∞ étant permise) vérifiant la « relation de conjugaison » $\frac1p+\frac1q=1,$
• f ∈ L^p(S) et g ∈ L^q(S).

Alors, le produit fg appartient à L¹(S) et sa norme est majorée naturellement : $\|fg\|_1\le\|f\|_p\|g\|_q.$

Plus généralement, pour 0 < p, q ≤ +∞ et r défini par 1/r = 1/p + 1/q, si f ∈ L^p(S) et g ∈ L^q(S) alors fg ∈ L^r et ║fg║_r ≤ ║f║_p ║g║_q.

De plus, lorsque p et q sont finis, il y a égalité si et seulement si |f|^p et |g|^q sont colinéaires presque partout (p.p.), c'est-à-dire s’il existe α et β non simultanément nuls tels que α|f|^p = β|g|^q p.p.

Deux démonstrations

Le résultat étant immédiat si p ou q est infini ou si fg est nulle p.p., supposons que 1/r = 1/p + 1/q avec 0 < p, q < +∞ et que les deux réels ║f║_p et ║g║_q sont non nuls et même, sans perte de généralité, que $\|f\|_p=\|g\|_q=1$ (par homogénéité). À partir de là, deux méthodes sont proposées.

1. En appliquant l'inégalité arithmético-géométrique généralisée $u^\alpha v^\beta\le\alpha u+\beta v\quad\mathrm{\grave a}\quad u=|f(x)|^p,~v=|g(x)|^q,~\alpha=r/p,~\beta=r/q\quad(\alpha+\beta=1),$ on obtient, pour tout x ∈ S, $|f(x)g(x)|^r\le\alpha|f(x)|^p+\beta|g(x)|^q$ (avec égalité si et seulement si |f(x)|^p = |g(x)|^q) et, après intégration, ${\|fg\|_r}^r\le\alpha{\|f\|_p}^p+\beta{\|g\|_q}^q=\alpha+\beta=1.$ On a donc bien $\|fg\|_r\le1=\|f\|_p\|g\|_q,$ avec égalité si et seulement si |f|^p = |g|^q p.p.
2. En appliquant, pour la mesure de probabilité à densité ν = |f|^pμ sur l'ensemble [f ≠ 0], ce corollaire de l'inégalité de Jensen : $0<r<q\Rightarrow\forall G\in\mathrm L^q(\nu), \|G\|_{\mathrm L^r(\nu)}\le\|G\|_{\mathrm L^q(\nu)}$ à la fonction $G=|f^{-p/q}~g|,$ on obtient, là encore, $\|fg\|_{\mathrm L^r(\mu)}=\|G\|_{\mathrm L^r(\nu)}\le\|G\|_{\mathrm L^q(\nu)}\le\|g\|_{\mathrm L^q(\mu)}=1$. De plus, l'égalité a lieu si et seulement s'il existe une constante C telle que, μ-p.p., $\Big(\big(f(x)=0\Rightarrow g(x)=0\big)\text{ et }\big(f(x)\ne0\Rightarrow G(x)=C\big)\Big)\text{ i.e. }|g(x)|^q=C^q|f(x)|^p.$

Exemples

Inégalité de Cauchy-Schwarz 

Le cas p = q = 2 de l'inégalité de Hölder est un cas particulier de l'inégalité de Cauchy-Schwarz pour les espaces de Hilbert.

Dimension finie 

Lorsqu'on applique l'inégalité de Hölder à l’ensemble S = {1, …, n} muni de la mesure de dénombrement, on obtient, pour 1 ≤ p, q ≤ +∞ avec 1/p + 1/q = 1 et pour tous vecteurs x et y de ℝⁿ (ou de ℂⁿ), l'inégalité

$\sum_{k=1}^n |x_k \ y_k| \leq \left( \sum_{k=1}^n |x_k|^p \right)^{1/p} \left( \sum_{k=1}^n |y_k|^q \right)^{1/q}.$

Cette inégalité peut aussi être démontrée en exprimant les conditions d'optimalité d'un problème de minimisation d'une fonction linéaire sur la boule unité pour la norme ℓ^p : voir la section Inégalités de Hölder.

Suites 

L’inégalité précédente se généralise (en prenant, cette fois, S = ℕ) aux suites (ou aux séries selon le point de vue) : si (x_k) et (y_k) sont respectivement dans les espaces de suites ℓ^p et ℓ^q, alors la suite « produit terme à terme » (x_k y_k) est dans ℓ¹.

Cas extrémal

Soient 1 ≤ p, q ≤ +∞ avec 1/p + 1/q = 1, S un espace mesuré, de tribu Σ et de mesure μ, et f ∈ L^p(S).

• Si p < +∞, alors$\|f\|_p=\max\left\{\left|\int fg~\mathrm d\mu\right|~;~g\in\mathrm L^q(S),~\|g\|_q\le1\right\},$
• Si p = +∞ et si tout élément A de la tribu Σ tel que μ(A) = +∞ contient un élément B de Σ tel que 0 < μ(B) < +∞ (ce qui est vrai dès que μ est σ-finie), alors$\|f\|_\infty=\sup\left\{\left|\int fg~\mathrm d\mu\right|~;~g\in\mathrm L^1(S),~\|g\|_1\le1\right\}.$

Démonstration

D'après l'inégalité de Hölder, dans les deux cas, la borne supérieure de l'ensemble de droite est majorée par ║f║_p.

Inversement, minorons cette borne supérieure par la norme p de f, que l'on peut supposer non nulle. Par homogénéité, supposons même que $\|f\|_p=1.$

• Si p < +∞, la borne est même un maximum c'est-à-dire qu'elle est atteinte : la fonction g définie sur S par$g(x)=\begin{cases}|f(x)|^p/f(x)&\text{si }f(x)\ne0,\\0&\text{sinon,}\end{cases}$appartient à L^q où sa norme vaut 1 et l'on a$\int fg~\mathrm d\mu=1=\|f\|_p.$
• Si p = +∞, soient ε ∈]0, 1[et A = [| f| > 1 – ε] ∈ Σ, de mesure non nulle puisque ║f║_∞ = 1. L'hypothèse additionnelle garantit l'existence d'un B ∈ Σ, contenu dans A et de mesure finie non nulle. La fonction g définie sur S par$g(x)=\begin{cases}\frac{|f(x)|}{\mu(B)f(x)}&\text{si }x\in B,\\0&\text{sinon}\end{cases}$appartient alors à L¹ où sa norme vaut 1 et l'on a$\int fg~\mathrm d\mu=\int_B\frac{|f|}{\mu(B)}~\mathrm d\mu\ge 1-\varepsilon.$La borne supérieure que l'on cherchait à minorer est donc supérieure ou égale à 1 – ε pour tout ε ∈]0, 1[, ce qui prouve qu'elle est bien supérieure ou égale à ║f║_∞.

Remarques sur le cas p = +∞

• Même avec l'hypothèse additionnelle de l'énoncé, la borne supérieure n'est pas atteinte en général. Par exemple si x est la suite de ℓ^∞ définie par x_k = 1 – 2^–k alors, pour toute suite non nulle y de norme inférieure ou égale à 1 dans ℓ¹, $\left|\sum x_ky_k\right|\le\sum(1-2^{-k})|y_k|<\sum|y_k|\le1=\|x\|_\infty.$
• Si A ∈ Σ est de mesure infinie mais ne contient aucun B ∈ Σ de mesure finie non nulle (l'exemple le plus simple étant celui où le seul B ∈ Σ qui soit strictement inclus dans A est ∅) et si f est la fonction indicatrice de A, alors la borne supérieure associée est nulle, tandis que ║f║_∞ = 1.

Applications

• L’inégalité de Hölder fournit immédiatement une relation importante entre les espaces L^p associés à une mesure finie de masse totale M : $0<r\le q\le+\infty\Rightarrow\mathrm L^r\supset\mathrm L^q\text{ et }\forall g\in\mathrm L^q, \|g\|_r\le M^{\frac1r-\frac1q}\|g\|_q.$ (Cette propriété peut également se déduire directement de l'inégalité de Jensen.)
• Elle intervient aussi comme argument permettant de montrer l’inégalité de Minkowski, qui est l'inégalité triangulaire pour la norme de L^p si p ≥ 1.
• Le cas extrémal permet d’établir que le dual topologique de L^p est L^q (avec 1/p + 1/q = 1) si 1 < p < +∞, et aussi si p = 1 quand la mesure est σ-finie.

Généralisation

L’inégalité de Hölder avec 1/p + 1/q = 1/r se généralise immédiatement à n fonctions, par récurrence :

Soient 0 < r, p₁, …, p_n ≤ +∞ tels que

$\sum_{k=1}^n\frac1{p_k}=\frac1r$

et n fonctions f_k ∈ L^p_k(S). Alors, le produit des f_k appartient à L^r(S) et

$\left\|\prod_{k=1}^nf_k\right\|_r\le \prod_{k=1}^n\|f_k\|_{p_k}.$ De plus, lorsque tous les p_k sont finis, il y a égalité si et seulement si les |f_k|^p_k sont colinéaires p.p.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Hölder's inequality » (voir la liste des auteurs)

Bibliographie

• Haïm Brezis, Analyse fonctionnelle : théorie et applications [détail des éditions] 
• Walter Rudin, Analyse réelle et complexe [détail des éditions]