Axiomes des probabilités

Dans la théorie des probabilités, une mesure de probabilité (ou plus brièvement probabilité) $\ \mathbb {P}$ est une application qui à un événement A quelconque associe un nombre réel (noté $\ \mathbb {P} (A)$). Une mesure de probabilité doit satisfaire les axiomes des probabilités ou axiomes de Kolmogorov, du nom d'Andreï Nikolaievitch Kolmogorov, mathématicien russe qui les a développés.

Une mesure de probabilité $\ \mathbb {P}$ est toujours définie sur un espace probabilisable $\left(\Omega ,{\mathcal {A}}\right),$ c'est-à-dire sur un couple constitué d'un ensemble d'éventualités, l'univers Ω, et d'une tribu ${\mathcal {A}}$ de parties de l'univers Ω. Les éléments de la tribu ${\mathcal {A}}$ sont appelés les événements. Ainsi la mesure de probabilité $\ \mathbb {P}$ est une application de ${\mathcal {A}}$ dans $\mathbb {R} .$

Premier axiome

Pour tout événement $\ A$ :

$0\leq \mathbb {P} (A)\leq 1.$

C'est-à-dire que la probabilité d'un événement est représentée par un nombre réel compris entre 0 et 1.

Deuxième axiome

$\ \Omega$ désignant l'univers associé à l'expérience aléatoire considérée,

$\ \mathbb {P} (\Omega )=1$,

C'est-à-dire que la probabilité de l'événement certain, ou d'obtenir un quelconque résultat de l'univers, est égale à 1. Autrement dit, la probabilité de réaliser l'un ou l'autre des événements élémentaires est égale à 1.

Troisième axiome

Toute famille dénombrable d'événements deux à deux disjoints (on dit aussi : deux à deux incompatibles), $A_{1},\,A_{2},\dots$ satisfait :

$\mathbb {P} (A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots )=\sum _{i=1}^{+\infty }\mathbb {P} (A_{i})$.

C'est-à-dire que la probabilité d'un événement qui est la réunion (dénombrable) disjointe d'événements est égale à la somme des probabilités de ces événements. Ceci s'appelle la σ-additivité, ou additivité dénombrable (si les événements ne sont pas deux à deux disjoints, cette relation n'est plus vraie en général).

Conséquences

À partir des axiomes, se démontrent un certain nombre de propriétés utiles pour le calcul des probabilités, par exemple :

• $\mathbb {P} (\emptyset )=0.$

Démonstration

Utilisons le 3ème axiome avec $\scriptstyle \ A_{k}=\emptyset \$ pour tout $\scriptstyle \ k.\$ On obtient

$\mathbb {P} (\emptyset )=\sum _{k\geq 1}\mathbb {P} (\emptyset ),$

relation qui n'est pas satisfaite si $\scriptstyle \ \mathbb {P} (\emptyset )\in ]0,1],\$ puisqu'alors le terme de droite vaut $\scriptstyle \ +\infty .\$ Donc il ne reste que $\scriptstyle \ \mathbb {P} (\emptyset )=0,\$ qui d'ailleurs convient.

• Si $\ A$, $\ B$ sont deux événements incompatibles (ou disjoints), alors

$\mathbb {P} (A\cup B)=\mathbb {P} (A)+\mathbb {P} (B).$

• Plus généralement, si $\ (A_{k})_{1\leq k\leq n}$ est une famille d'événements 2 à 2 incompatibles, alors

$\mathbb {P} \left(\bigcup _{1\leq k\leq n}A_{k}\right)=\sum _{1\leq k\leq n}\mathbb {P} (A_{k}).$

Démonstration

Utilisons le 3ème axiome avec $\scriptstyle \ A_{k}=\emptyset \$ pour tout $\scriptstyle \ k\geq n+1.\$ On obtient bien une suite d'événements incompatibles 2 à 2 tels que

$\bigcup _{1\leq k\leq n}A_{k}=\bigcup _{k\geq 1}A_{k},$

donc

$\mathbb {P} \left(\bigcup _{1\leq k\leq n}A_{k}\right)=\mathbb {P} \left(\bigcup _{k\geq 1}A_{k}\right),$

mais en vertu du troisième axiome

$\mathbb {P} \left(\bigcup _{k\geq 1}A_{k}\right)=\sum _{k\geq 1}\mathbb {P} \left(A_{k}\right)$

et finalement, puisque pour tout $\scriptstyle \ k\geq n+1,\$ $\mathbb {P} \left(A_{k}\right)=\mathbb {P} \left(\emptyset \right)=0,\$ on obtient le résultat désiré.

• $\mathbb {P} (B\setminus A)=\mathbb {P} (B)-\mathbb {P} (A\cap B)$;

Cette relation signifie que la probabilité que B se réalise, mais pas A, est égale à la différence $\mathbb {P} (B)-\mathbb {P} (A\cap B)$. Cette relation découle de ce que B est réunion disjointe de $B\setminus A$ et de $A\cap B.$

• En particulier, si $A\subset B$, alors

$\mathbb {P} (A)\leq \mathbb {P} (B)$

C'est la propriété de croissance de la probabilité. En effet, dans le cas particulier où $A\subset B$, la propriété précédente s'écrit

$\mathbb {P} (B\setminus A)=\mathbb {P} (B)-\mathbb {P} (A),\$ où le premier terme est clairement positif ou nul.

• Dans le cas particulier où $B=\Omega ,$ cela donne que, pour tout événement $\ A$,

$\mathbb {P} (\Omega \setminus A)=1-\mathbb {P} (A)$

Ceci signifie que la probabilité pour qu'un événement ne se produise pas est égale à 1 moins la probabilité pour qu'il se réalise ; cette propriété s'utilise lorsqu'il est plus simple de déterminer la probabilité de l'événement contraire que celle de l'événement lui-même.

• Pour tous événements $\ A$, $\ B$,

$\mathbb {P} (A\cup B)=\mathbb {P} (A)+\mathbb {P} (B)-\mathbb {P} (A\cap B)\ \leq \ \mathbb {P} (A)+\mathbb {P} (B).$

Ceci signifie que la probabilité pour que l'un au moins des événements $A$ ou $B$ se réalise est égale à la somme des probabilités pour que $\ A$ se réalise, et pour que $\ B$ se réalise, moins la probabilité pour que $\ A$ et $\ B$ se réalisent simultanément. De même,

$\mathbb {P} (A\cup B\cup C)=\mathbb {P} (A)+\mathbb {P} (B)+\mathbb {P} (C)-\mathbb {P} (B\cap C)-\mathbb {P} (C\cap A)-\mathbb {P} (A\cap B)+\mathbb {P} (A\cap B\cap C).$

• Ces deux dernières formules sont des cas particuliers (n=2,3) du Principe d'inclusion-exclusion qui porte parfois le nom de "formule du crible de Poincaré":

$\mathbb {P} \left(\,\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\,\right)=\sum _{k=1}^{n}\left((-1)^{k-1}\sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}\leq n}\mathbb {P} \left(A_{i_{1}}\cap A_{i_{2}}\cap \ldots \cap A_{i_{k}}\right)\right),$

qui donne la probabilité de la réunion de n ensembles non nécessairement disjoints.

• Par récurrence, l'inégalité obtenue pour n=2 se généralise :

$\mathbb {P} \left(\,\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\,\right)\leq \sum _{k=1}^{n}\mathbb {P} \left(A_{k}\right).$

Limites croissantes et décroissantes ou Propriété de la continuité monotone

• Toute suite croissante d'événements $A_{1}\,\subset \,A_{2}\,\subset \,A_{3}\,\subset \,\dots$ satisfait :

$\mathbb {P} (A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots )=\lim _{n}\mathbb {P} (A_{n}).$

C'est-à-dire que la probabilité de la limite d'une suite croissante d'événements (qui est dans ce cas la réunion - dénombrable - de tous les événements de cette suite) est égale à la limite de la suite numérique des probabilités de ces événements.

Démonstration

On pose

$B_{1}=A_{1}\quad {\text{et}}\quad \forall n\geq 2,\ B_{n}=A_{n}\backslash A_{n-1}.$

Alors les $B_{i}$ sont disjoints et vérifient

$\bigcup _{n\geq 1}B_{n}=\bigcup _{n\geq 1}A_{n}\quad {\text{et}}\quad \forall n\geq 1,\ \bigcup _{k=1}^{n}B_{k}=A_{n}.$

Les propriétés de σ-additivité et d'additivité, respectivement, entrainent alors que

$\sum _{n\geq 1}\mathbb {P} (B_{n})=\mathbb {P} \left(\bigcup _{n\geq 1}A_{n}\right)\quad {\text{et}}\quad \forall n\geq 1,\ \sum _{k=1}^{n}\mathbb {P} (B_{k})=\mathbb {P} (A_{n}).$

Alors $\scriptstyle \ \mathbb {P} (A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots )=\lim _{n}\mathbb {P} (A_{n})$ n'est autre que la définition de la somme d'une série comme limite de ses sommes partielles.

• Toute suite décroissante d'événements $A_{1}\,\supset \,A_{2}\,\supset \,A_{3}\,\supset \,\dots$ satisfait :

$\mathbb {P} (A_{1}\cap A_{2}\cap \cdots )=\lim _{n}\mathbb {P} (A_{n}).$

C'est-à-dire que la probabilité de la limite d'une suite décroissante d'événements (qui est dans ce cas l'intersection - dénombrable - de tous les événements de cette suite) est égale à la limite de la suite numérique des probabilités de ces événements.

• Inégalité de Boole. Toute suite d'événements $B_{1},B_{2},B_{3},\dots$ satisfait :

$\mathbb {P} (B_{1}\cup B_{2}\cup \cdots )\leq \sum _{n}\mathbb {P} (B_{n}).$

Démonstration

On pose

$A_{n}=B_{1}\cup B_{2}\cup \dots \cup B_{n}=\bigcup _{k=1}^{n}B_{k}.$

Alors les $A_{i}$ forment une suite croissante et

$\bigcup _{n\geq 1}A_{n}=\bigcup _{n\geq 1}B_{n}.$

Par ailleurs, on a vu plus haut que

$\mathbb {P} (A_{n})\leq \sum _{k=1}^{n}\mathbb {P} (B_{k}),$

donc

${\begin{aligned}\mathbb {P} \left(\bigcup _{n\geq 1}B_{n}\right)=\mathbb {P} \left(\bigcup _{n\geq 1}A_{n}\right)&=\lim _{n}\mathbb {P} (A_{n})\\&\leq \lim _{n}\sum _{k=1}^{n}\mathbb {P} (B_{k})\\&=\sum _{n\geq 1}\mathbb {P} (B_{n}).\end{aligned}}$

• Signalons deux conséquences importantes de l'inégalité de Boole :
  • Une réunion finie ou dénombrable d'ensembles négligeables est elle-même négligeable ;
  • Une intersection finie ou dénombrable d'ensembles presque sûrs est elle-même presque sûre.

Formulation à partir de la théorie de la mesure

De manière équivalente, on définit plus simplement le triplet $(\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {P} )$ représentant un espace probabilisé, comme un espace mesuré dont la mesure, $\mathbb {P}$, a la particularité d'avoir une masse totale égale à 1:

$\mathbb {P} (\Omega )=1.$

En théorie de la mesure, les événements sont appelés « ensembles mesurables ». Ce mini-lexique permet de traduire les résultats de la théorie de la mesure et de l'intégration de Lebesgue en termes probabilistes.