Inégalité de Boole

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En théorie des probabilités, l'inégalité de Boole affirme que, pour toute famille finie ou dénombrable d'événements, la probabilité que l'un au moins des événements se réalise est inférieure ou égale à la somme des probabilités des événements pris isolément. Plus formellement,

Inégalité de Boole — Pour une famille au plus dénombrable d'événements A1, A2, A3, ..., on a :

\mathbb{P}\left(\bigcup_{n} A_n\right) \leq \sum_n \mathbb{P}\left(A_n\right).

En termes de la théorie de la mesure, l'inégalité de Boole exprime le fait qu'une mesure de probabilité est σ-sous-additive (comme toute mesure).

Conséquence — L'intersection d'une famille finie ou dénombrable d'évènements presque certains, B1, B2, B3, ..., est presque certaine (il suffit d'appliquer l'inégalité de Boole aux complémentaires des Bn).

Inégalités de Bonferroni[modifier | modifier le code]

Les inégalités de Bonferroni, dues à Carlo Emilio Bonferroni, généralisent l'inégalité de Boole. Elles fournissent des majorants et des minorants de la probabilité d'unions finies d'événements.

Posons :

S_1 := \sum_{i=1}^n \mathbb{P}(A_i),
S_2 := \sum_{i<j} \mathbb{P}(A_i \cap A_j),

et pour 2 < kn,

S_k := \sum \mathbb{P}(A_{i_1}\cap \cdots \cap A_{i_k} ),

où la somme est effectuée sur tous les k-uplets strictement croissants d'entiers compris entre 1 et n.

Alors pour tout entier impair k tel que 1 ≤ kn

\mathbb{P}\left( \bigcup_{i=1}^n A_i \right) \leq \sum_{j=1}^k (-1)^{j+1} S_j,

et pour tout entier pair k tel que 2 ≤ kn

\mathbb{P}\left( \bigcup_{i=1}^n A_i \right) \geq \sum_{j=1}^k (-1)^{j+1} S_j.

On retrouve l'inégalité de Boole pour k = 1.

Références[modifier | modifier le code]

Cet article est élaboré à partir d'une traduction de l'article de Wikipédia en anglais, lui-même tiré d'un article de PlanetMath, disponible sous GFDL.

Voir aussi[modifier | modifier le code]