Centre (algèbre)

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En mathématiques, plus particulièrement en algèbre générale, le centre d'une structure algébrique est l'ensemble des éléments de cette structure qui commutent avec tous les autres éléments.

Groupes[modifier | modifier le code]

Article détaillé : centre d'un groupe.

Le centre d'un groupe G est l'ensemble des éléments de G qui commutent avec tous les éléments de G. On le note Z(G) :

Z(G) = \left\{ g \in G / \forall x \in G, gx = xg \right\}

Z(G) est un sous-groupe de G, abélien, distingué et caractéristique.

Anneaux[modifier | modifier le code]

Soit  ( A , + , · )  un anneau .

Le centre de ( A , + , · ) est le sous-ensemble de A formé par tous les éléments x de A tels que x · r = r · x pour tout r de A .

Le centre de A est un sous-anneau de A, et est commutatif. Si, de plus, ce centre est un corps, alors A est une algèbre sur son propre centre.

Corps[modifier | modifier le code]

Soit  ( K , + , · )  un corps gauche.

Le centre de ( K , + , · ) est le sous-ensemble de K formé par tous les éléments x de K tels que x · r = r · x pour tout r de K .

Le centre de K est un sous-corps commutatif de K . Par conséquent K est une algèbre sur son propre centre.

Algèbres[modifier | modifier le code]

Le centre d'une algèbre E est constitué de tous les éléments x de E tels que x · a = a · x pour tout a de E.

Le centre d'une algèbre de Lie L est formé de tous les éléments x de L tels que [x,a] = 0 pour tout a de L. Il s'agit également d'un idéal de L.

Articles connexes[modifier | modifier le code]