Transvection

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Pour la définition du terme en génétique voir : transvection épigénétique

Une transvection est une transformation géométrique particulière.

Cet article est à lire en parallèle avec celui sur les dilatations.

Dessin d'origine.
Résultat de la transvection.

Transvection vectorielle[modifier | modifier le code]

Soient f un endomorphisme d'un espace vectoriel E, H = Ker(f–id) l'ensemble des vecteurs invariants, et D = Im(f–id) (d'après le théorème du rang, dim(H) + dim(D) = dim(E)).

  • On dit que f est une transvection si f est l'identité, ou si H est un hyperplan (base de la transvection) (ce qui revient à dire que D, direction de la transvection, est une droite) et D est inclus dans H (c'est-à-dire que pour tout x de E, f(x) – x appartient à H).
  • Condition équivalente 1 : f est linéaire, Ker(f – id) est l'espace tout entier ou un hyperplan, et (f – id)2 = 0.
  • Condition équivalente 2 : il existe une forme linéaire h sur E et un vecteur u de Ker(h) tels que pour tout x de E : f(x) = x + h(x)u.

Les transvections sont bijectives (f–1(x) = x–h(x)u) et, en dimension finie, sont de déterminant 1 ; elles engendrent le groupe spécial linéaire SL(E) de E. L'ensemble des transvections de base H en forme un sous-groupe, isomorphe au groupe additif Hu de H, faire correspondre la transvection xx + h(x)u).

Matrice de transvection[modifier | modifier le code]

Dans une base de E contenant une base de H dont l'un des vecteurs est un vecteur directeur de D, la transvection a pour matrice une matrice du type

\begin{pmatrix}
1 &  &  & 0   \\ 
& 1 &  &\lambda  &  \\ 
&  & . &  &  \\ 
&  0  & & 1 &  \\ 
&  &  &  & 1 
\end{pmatrix}=I_n+\lambda E_{ij}

avec i ≠ j, la matrice Eij étant constituée de zéros partout sauf un 1 en position (i, j).

Ces matrices In + λEij sont appelées matrices de transvection ; elles engendrent le groupe spécial linéaire SLn(K).

La forme la plus réduite, qui est sa forme de Jordan, de la matrice d'une transvection différente de l'identité est

\begin{pmatrix}
1 &  &  & &   \\ 
& 1 &  &  &  \\ 
&  & . &  &  \\ 
&  &  & 1 & 1  \\ 
&  &  &  & 1 
\end{pmatrix}.

Transvection affine[modifier | modifier le code]

Transvection.gif

Une transvection d'un espace affine E est soit l'identité, soit une application affine de E dans E dont l'ensemble des points invariants est un hyperplan H de E (base de la transvection) et telle que pour tout point M le vecteur \overrightarrow{MM'} reste parallèle à H. Les vecteurs \overrightarrow{MM'} forment alors une droite vectorielle \overrightarrow{D} (direction de la transvection).

Une transvection affine a pour partie linéaire une transvection vectorielle. Réciproquement, les applications affines ayant pour partie linéaire une transvection vectorielle sont les transvections glissées, composée d'une transvection et d'une translation de vecteur parallèle à la base.

Étant donné deux points A et A' tels que la droite (AA' ) est parallèle à un hyperplan H, mais non incluse dans cet hyperplan, il existe une unique transvection de base H envoyant A sur A'  ; on obtient facilement l'image M' d'un point M par la construction de la figure ci-contre.

Transvection projective[modifier | modifier le code]

Transvection avion.gif

Si l'on plonge l'espace affine E dans son complété projectif, en lui adjoignant un hyperplan à l'infini H' , on sait que l'on peut munir le complémentaire E' de l'hyperplan H d'une structure d'espace affine (les droites qui sont sécantes en un point de H dans E deviennent parallèles dans E' et celles qui sont parallèles dans E deviennent sécantes en un point de H' ).

À toute transvection d'hyperplan H de E est alors associée une application affine de E' qui n'est autre qu'une translation.

Les transvections sont donc en fait des « translations en perspective ».[réf. nécessaire] Si l'on regarde par avion une translation de vecteur parallèle à la ligne d'horizon, on voit une transvection (cf figure ci-contre).

Si maintenant on envoie un autre hyperplan que H et H' à l'infini, la transvection devient une homologie spéciale.

En résumé, il y a, en géométrie projective, identité entre les translations, les transvections, et les homologies spéciales.

Transvection euclidienne[modifier | modifier le code]

Transvection euclid.gif

Soit f une transvection d'un espace euclidien, \vec n un vecteur normal et normé de sa base et D sa direction de vecteur directeur normé \vec u.

Avec les notations ci-contre, on a

\overrightarrow {MM'}=\lambda \overline{HM} \vec u.

Le nombre λ est alors le coefficient de la transvection, et son angle θ est défini par tan θ = λ.

Réalisation d'une transvection par perspective parallèle[modifier | modifier le code]

Transvection perspective.gif

Plongeons l'espace euclidien En de dimension n comme hyperplan d'un espace En+1 de dimension n+1 et faisons tourner En autour de son hyperplan H, de façon à en obtenir une copie \scriptstyle\tilde E_n.

Tout point M de En a une copie \scriptstyle\tilde M dans \scriptstyle\tilde E_n, donc aussi l'image M' de M par une transvection de base H.

On montre[1] que la droite \scriptstyle(M\tilde M') garde une direction fixe D, ce qui montre que \scriptstyle\tilde M' s'obtient par projection de M dans En+1 (projection de base \scriptstyle\tilde E_n et de direction D).

Note et références[modifier | modifier le code]

  1. Voir cette page sur le site de l'université de Modène une réalisation concrète de ce procédé.

Source pour la partie projective : Alain Bigard, Géométrie, Cours et exercices corrigés pour le Capes et l'agrégation, Masson, 1998