Flocon de Koch
Le flocon de Koch est l'une des premières courbes fractales à avoir été décrites, bien avant l'invention du terme « fractal(e) » par Benoît Mandelbrot.
Elle a été inventée en 1904 par le mathématicien suédois Helge von Koch[1].
Courbe de Koch[modifier | modifier le code]
On peut la créer à partir d'un segment de droite, en modifiant récursivement chaque segment de droite de la façon suivante :
- On divise le segment de droite en trois segments de longueurs égales.
- On construit un triangle équilatéral ayant pour base le segment médian de la première étape.
- On supprime le segment de droite qui était la base du triangle de la deuxième étape.
Au bout de ces trois étapes, l'objet résultant a une forme similaire à une section transversale d'un chapeau de sorcière.
La courbe de Koch est la limite des courbes obtenues, lorsqu'on répète indéfiniment les étapes mentionnées ci-avant.
Une extension de la notion de dimension permet d'attribuer à la courbe de Koch une dimension fractale (non entière) dont la valeur est[2],[3],[4]
La courbe de Koch a une longueur infinie parce qu'à chaque fois qu'on applique les modifications ci-avant sur chaque segment de droite, la longueur totale est multipliée par quatre tiers.
La surface délimitée par la courbe est cependant finie, car contenue dans le demi-disque dont le diamètre est le segment initial. Si l'on a choisi l'unité d'aire de telle sorte que le triangle construit à la première itération soit d'aire 1, alors l'aire de chacun des quatre triangles construits lors de la seconde itération est 1/9 : on a donc augmenté l'aire totale de 4/9. Pour l'itération n, on ajoute . L'aire totale s'obtient finalement en sommant une série géométrique convergente :
.
La courbe de Koch constitue un exemple de courbe continue mais non dérivable en chacun de ses points.
On peut considérer le flocon de Koch comme l'attracteur d'une famille de contractions, ce qui permet de prouver par exemple que c'est un compact de R²[5].
Flocon de Koch[modifier | modifier le code]
Le flocon de Koch s'obtient de la même façon que la fractale précédente, en partant d'un triangle équilatéral au lieu d'un segment de droite, et en effectuant les modifications en orientant les triangles vers l'extérieur. Pour un triangle initial (étape 0) de périmètre p, le périmètre du flocon à l'étape n est (4/3)np.
On peut aussi partir d'un hexagone, et opérer en orientant les triangles vers l'intérieur.
Dans les deux cas, après quelques itérations on obtient une forme évoquant un flocon de neige régulier.
Comme la courbe, le flocon de Koch est de longueur infinie et délimite une aire finie. Celle-ci est égale aux 8/5 de l'aire du triangle initial dû à la construction de seulement 3 triangles lors de la première étape.
Variantes de la courbe de von Koch[modifier | modifier le code]
Suivant le concept de von Koch, plusieurs variantes ont été conçues, en considérant des angles droits (Quadratique), d'autres angles (fractale de Cesàro) ou des extensions dans les dimensions supérieures (sphereflake, surface de Koch).
| Variante | Illustration | Construction | |
|---|---|---|---|
| 1D & angle = 85° | La fractale Cesàro est une généralisation de la courbe de Koch avec un angle compris entre 60° et 90° (ici 85°). | ||
| 1D & 90° | |||
| 1D & 90° | |||
| 2D & triangles | |||
| 2D & 90° | .png) .png) .png)
Les trois premières étapes. | ||
| 2D & 90° | .png) .png) .png)
Les trois premières étapes. | ||
| 2D & sphères | Eric Haines a développé la fractale sphereflake (litt. flocon de sphère), extension du flocon de Koch, construite à base de sphères. |
Notes et références[modifier | modifier le code]
- H. von Koch, « Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction géométrique élémentaire », Arkiv för matematik, astronomi och fysik, vol. 1, , p. 681-704.
- Une démonstration figure dans « Les fractales », Tangente HS, no 18, p. 26.
- (en) Eric W. Weisstein, « Koch Snowflake », sur MathWorld.
- (en) Chan Wei Ting et al., « Moire patterns + fractals », sur NUS, p. 16.
- « Courbe de Koch », sur mathcurve.
