Flocon de Koch
Pour les articles homonymes, voir Koch.Le flocon de Koch est l'une des premières courbes fractales à avoir été décrite (bien avant l'invention du terme « fractal(e) »).
Elle a été inventée en 1906[1] par le mathématicien suédois Helge von Koch (1870 - 1924)[2].
Sommaire
Courbe de Koch[modifier | modifier le code]
On peut la créer à partir d'un segment de droite, en modifiant récursivement chaque segment de droite de la façon suivante :
- On divise le segment de droite en trois segments de longueurs égales.
- On construit un triangle équilatéral ayant pour base le segment médian de la première étape.
- On supprime le segment de droite qui était la base du triangle de la deuxième étape.
Au bout de ces trois étapes, l'objet résultant a une forme similaire à une section transversale d'un chapeau de sorcière.
La courbe de Koch est la limite des courbes obtenues, lorsqu'on répète indéfiniment les étapes mentionnées ci-avant.
Une extension de la notion de dimension permet d'attribuer à la courbe de Koch une dimension fractale[3] (non entière) dont la valeur est
.
.La courbe de Koch a une longueur infinie parce qu'à chaque fois qu'on applique les modifications ci-avant sur chaque segment de droite, la longueur totale augmente d'un tiers.
La surface délimitée par la courbe est cependant finie (car elle est contenue dans le demi-cercle dont le diamètre est le segment initial). Si on a choisi l'unité d'aire de telle sorte que le triangle construit à la première itération soit d'aire 1, alors l'aire de chacun des quatre triangles construits lors de la seconde itération est 1/9 : on a donc augmenté l'aire totale de 4/9. Pour l'itération n, on ajoute 
. La surface totale s'obtient finalement en sommant une série géométrique :
La courbe de Koch constitue un exemple de courbe continue mais non dérivable en chacun de ses points.
Flocon de Koch[modifier | modifier le code]
Le flocon de Koch s'obtient de la même façon que la fractale précédente, en partant d'un triangle équilatéral au lieu d'un segment de droite, et en effectuant les modifications en orientant les triangles vers l'extérieur. Pour un triangle initial (étape 0) de périmètre 1, le périmètre du flocon à l'étape n est (4/3)n.
On peut aussi partir d'un hexagone, et opérer en orientant les triangles vers l'intérieur.
Dans les deux cas, après quelques itérations on obtient une forme évoquant un flocon de neige régulier.
Comme la courbe, le flocon de Koch est de longueur infinie et délimite une aire finie égale aux 8/5 de l'aire du triangle initial.
Variantes de la courbe de von Koch[modifier | modifier le code]
Suivant le concept de von Koch, plusieurs variantes ont été conçues, en considérant des angles droits (Quadratique), d'autres angles (fractale de Cesàro) ou des extensions dans les dimensions supérieures (sphereflake, surface de Koch).
| Variante | Illustration | Construction | |
|---|---|---|---|
| 1D & angle = 85° |
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La fractale Cesàro est une généralisation de la courbe de Koch avec un angle compris entre 60° et 90° (ici 85°). | |
| 1D & 90° |
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| 1D & 90° |
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| 2D & triangles |
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| 2D & 90° |
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Les trois premières étapes. |
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| 2D & 90° |
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Les trois premières étapes. |
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| 2D & sphères |
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Eric Haines a développé la fractale sphereflake (litt. flocon de sphère), extension du flocon de Koch, construite à base de sphères. |
Notes et références[modifier | modifier le code]
- H. von Koch, Une méthode géométrique élémentaire pour l'étude de certaines questions de la théorie des courbes planes, Acta Math, 30 (1906) 145-174
- (en) Biographie de von Koch
- Une démonstration figure dans Les fractales. Tangente HS no 18 page 26.
