Octaèdre régulier

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Octaèdre
Description de l'image Octahedron.gif.

Faces Arêtes Sommets
8 triangles 12 6 de degré 4
Type Polyèdre régulier
Références d'indexation U05 – C17 – W002
Symbole de Schläfli {3,4}
Symbole de Wythoff 4|2 3
Diagramme C-D CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
Caractéristique 2
Propriétés Deltaèdre convexe
Volume (arête a)
Aire de surface
Angle dièdre 109,47°
Groupe de symétrie Oh
Dual Cube

Un octaèdre régulier est un octaèdre dont les 8 faces sont des triangles équilatéraux. Il possède 6 sommets et 12 arêtes. C'est un des 5 solides de Platon. C'est aussi un antiprisme triangulaire et une bipyramide carrée. Il possède une sphère circonscrite passant par ses 6 sommets et une sphère inscrite tangeante à ses 8 faces.

Comme il a 3 sommets par face, et 4 faces par sommet, son symbole de Schläfli est {3,4}.

Grandeurs caractéristiques[modifier | modifier le code]

Si a est la longueur d'une arête :

  • la distance entre 2 sommets opposés est :  ;
  • le rayon de sa sphère circonscrite est : ;
  • son angle dihédral esr
  • le rayon de sa sphère inscrite est : ;
  • son aire est : ;
  • son volume est : ;
  • les 6 points (,0,0), (0, , 0), (0,0,) sont les sommets d'un tétraèdre régulier centré sur l'origine.

Propriétés diverses[modifier | modifier le code]

Patron de l'octaèdre régulier.

L'octaèdre et le cube sont duaux l'un de l'autre, c'est-à-dire que le polyèdre ayant pour sommets les centres des faces de l'un est l'homothétique de l'autre.

Le squelette de l'octaèdre régulier, c'est-à-dire l'ensemble de ses sommets reliés par ses arêtes, forme un graphe appelé graphe octaédrique.

Patron de l'octaèdre régulier

Platon l'associait à l'élément naturel «air »[1].




Exemples[modifier | modifier le code]

Dans les jeux[modifier | modifier le code]

Article détaillé : dé à 8 faces.

L'octaèdre régulier est utilisé comme dé à jouer, particulièrement dans les jeux de rôle.

En cristallographie[modifier | modifier le code]

Certains cristaux comme la fluorine forment un octaèdre régulier.

En chimie[modifier | modifier le code]

Certaines molécules peuvent avoir une géométrie moléculaire octaédrique.

Généralisation[modifier | modifier le code]

L'hyperoctaèdre (ou polytope croisé, ou orthoplexe, ou encore n-octaèdre) est la généralisation de l'octaèdre en n dimensions.

Le n-octaèdre est le polytope dual du n-cube (hypercube à n dimensions) : pour obtenir un n-octaèdre, on relie entre eux les centres des faces (de dimension n –1) d'un n-cube.

L'hyperoctaèdre est, avec l'hypercube et le n-simplexe, un des trois seuls polytopes existant sous forme régulière dans toute dimension n. Les polytopes réguliers sont en effet une infinité en dimension 2 (voir polygone régulier), 5 en dimension 3 (voir solide de Platon), 6 en dimension 4, et après ils ne sont plus que 3, comme Ludwig Schläfli l'a démontré.

Le symbole de Schläfli d'un n-octaèdre est de la forme {3,3,3,…,3,4} avec n – 1 chiffres.

Les coordonnées des sommets d'un hyperoctaèdre centré à l'origine sont obtenues en permutant les coordonnées (±1,0,0,0,...,0,0).

Les premiers hyperoctaèdres
Hyperoctaèdre Carré Octaèdre Hexadécachore ou 16-cellules 5-octaèdre
Dimension 2 3 4 5
Sommets 4 6 8 10
Représentation Cross graph 2.svg Octahedron.svg 16-cell.gif Cross graph 5.svg

Hypervolume d'un hyperoctaèdre régulier[modifier | modifier le code]

L'hypervolume d'un polytope est le contenu n-dimensionnel de ce polytope. Soit a son arête.

Pour construire un (n + 1)-octaèdre, on relie les 2n sommets d'un n-octaèdre à un nouveau point au-dessus et à un nouveau point au-dessous.

  • Ainsi, un segment dont les extrémités sont reliées à un point au-dessus et à un point au-dessous donne un carré (on supposera que les points ont été placés de sorte à donner un hyperoctaèdre régulier).
  • Un carré dont les sommets sont reliés à un point au-dessus et à un point au-dessous donne un octaèdre.
  • Un octaèdre dont les sommets sont reliés à un point au-dessus et à un point en dessous (situés dans une autre dimension) donne bien un hexadécachore.

L'hyperoctaèdre est donc une double hyperpyramide (à base hyperoctaédrique de dimension inférieure). Étant régulier dans le cas étudié, ses sommets sont tous sur une n-sphère circonscrite. Cette n-sphère circonscrite est également celle de ses faces hyperoctaédriques de dimensions inférieures, car tous les sommets de l'hyperoctaèdre régulier sont dessus. Le rayon du centre de cette n-sphère aux sommets est donc le même pour toute dimension n : .

L'hypervolume est celui de deux hyper-pyramides de hauteur . On en déduit donc que l'hypervolume (le n-contenu) d'un n-octaèdre régulier d'arête a vaut :

.

Exemples :

  • Aire du carré :
  • Volume de l'octaèdre régulier :
  • Hypervolume de l'hexadécachore :

...

(On suppose dans cette formule que le seul n-octaèdre à ne pas avoir une longueur d'arête égale à a est le segment (1-octaèdre), qui a dans ce cas pour longueur (diagonale d'un carré) pour donner bien un carré de côté a avec la méthode de construction donnée)

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Les cinq éléments de Platon : Histoire du solide de Platon

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Octaèdre