Tétraèdre régulier

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Tétraèdre régulier
Image illustrative de l'article Tétraèdre régulier

Type Solide de Platon
Type de faces {3}
Configuration de sommet 3.3.3
Faces 4
Arêtes 6
Sommets 4
Caractéristique 2

Symbole de Schläfli {3,3}
s{2,2}
Symbole de Wythoff 3 | 2 3
| 2 2 2
Diagramme de Coxeter-Dynkin CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
CDel node h.pngCDel 2.pngCDel node h.pngCDel 2.pngCDel node h.png
CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node h.png
CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Type de faces {3}
Références d'indexation U01, C15, W1
Dual Auto-dual
Groupe de symétrie Td
Propriétés Uniforme, convexe, deltaèdre
Figure de sommet
3.3.3
(Figure de sommet)
Dual
Auto-dual
(Dual)

En géométrie euclidienne, le tétraèdre régulier est le plus simple des cinq solides de Platon. Comme tout tétraèdre, il a 4 faces triangulaires, 6 arêtes et 4 sommets. Puisqu'il est de plus régulier, ses faces sont équilatérales.

Comme il a trois sommets par face, et trois faces par sommet, son symbole de Schläfli est {3,3}.

Grandeurs caractéristiques[modifier | modifier le code]

Si a est la longueur d'une arête :

  • l'aire du tétraèdre régulier est égale à :  ;
  • sa hauteur est égale à :  ;
  • son centre est situé, par rapport à la base, à :  ;
  • son volume est égal à :  ;
  • la valeur de l'angle central du tétraèdre régulier (c’est-à-dire celui que forment, deux à deux, les quatre segments qui partent du centre vers les quatre sommets) est de arccos(–1/3) (approx. 109,471°).

Symétries[modifier | modifier le code]

Le groupe des isométries laissant globalement invariant le tétraèdre régulier est isomorphe au groupe symétrique S4 (voir le § sur la représentation standard de S4 de l'article sur les représentations des groupes symétriques).

Le sous-groupe de ses isométries positives est isomorphe au groupe alterné A4 (voir le § « Groupe des rotations du tétraèdre » de l'article sur les groupes alternés).

Autres propriétés[modifier | modifier le code]

Autodualité du tétraèdre régulier.

Le tétraèdre régulier est son propre dual, c'est-à-dire qu'en joignant les centres de ses faces, on obtient un nouveau tétraèdre régulier.

Il possède une coupe carrée.

Cette forme est utilisée pour fabriquer des dés à quatre faces et modélise la molécule de méthane.

Les Grecs l'associaient à l'élément naturel du feu.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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