Tétraèdre régulier

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Tétraèdre régulier
Image illustrative de l’article Tétraèdre régulier

Type Solide de Platon
Type de faces {3}
Configuration de sommet 3.3.3
Faces 4
Arêtes 6
Sommets 4
Caractéristique 2

Symbole de Schläfli {3,3}
s{2,2}
Symbole de Wythoff 3 | 2 3
| 2 2 2
Diagramme de Coxeter-Dynkin CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
CDel node h.pngCDel 2.pngCDel node h.pngCDel 2.pngCDel node h.png
CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node h.png
CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Type de faces {3}
Références d'indexation U01, C15, W1
Dual Auto-dual
Groupe de symétrie Td
Angle dièdre arccos(1/3) 70,529°
Propriétés Uniforme, convexe, deltaèdre
Figure de sommet
3.3.3
(Figure de sommet)
Dual
Auto-dual
(Dual)

Le tétraèdre régulier est un tétraèdre dont les 4 faces sont des triangles équilatéraux. Il possède 6 arêtes et 4 sommets. C'est le plus simple des cinq solides de Platon. Il possède une sphère circonscrite passant par ses 4 sommets et une sphère inscrite tangeante à ses 4 faces.

Comme il a 3 sommets par face, et 3 faces par sommet, son symbole de Schläfli est {3,3}.

Grandeurs caractéristiques[modifier | modifier le code]

Tétraèdre régulier inscrit dans un cube

Si a est la longueur d'une arête :

  • sa hauteur est égale à :  ;
  • son centre est situé, par rapport à la base, à :  ;
  • le rayon de sa sphère circonscrite est :
  • le rayon de sa sphère inscrite est :
  • son aire est :  ;
  • son volume est :  ;
  • son angle dièdre vaut  ;
  • son angle central (c’est-à-dire celui que forment, deux à deux, les quatre segments qui partent du centre vers les quatre sommets) vaut  ;
  • l'angle solide d'une face vue du sommet opposé vaut stéradians ;
  • Les 4 points de coordonnées sont les sommets d'un tétraèdre régulier d'arête a = 22 centré à l'origine, issu de quatre sommets d'un cube.

Propriétés diverses[modifier | modifier le code]

Autodualité du tétraèdre régulier.

Les isométries laissant globalement invariant le tétraèdre régulier forment un groupe isomorphe au groupe symétrique S4 . Le sous-groupe des isométries positives est isomorphe au groupe alterné A4.

Le tétraèdre régulier est son propre dual, c'est-à-dire qu'en joignant les centres de ses faces, on obtient un tétraèdre régulier semblable.

Il possède une coupe carrée.

Cette forme est utilisée pour fabriquer des dés à quatre faces et modélise certaines molécules ayant une géométrie moléculaire tétraédrique tel que le méthane.

Platon l'associait à l'élément naturel « feu ».

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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