Théorème de Varignon

Il existe deux théorèmes démontrés par Pierre Varignon.

Théorème mathématique

Soit ABCD un quadrilatère quelconque et I, J, K et L les milieux de ses côtés. IJKL est un parallélogramme.

D'autre part, si ABCD est plan et convexe, son aire est le double de celle de IJKL.

En corollaire les médianes d'un quadrilatère ont même milieu (étant les diagonales du parallélogramme),

le périmètre du parallélogramme de Varignon est égal à la somme des longueurs des diagonales du quadrilatère.

Démonstration

Par application du théorème des milieux, on montre que les côtés opposés de IJKL sont chacun parallèle à une diagonale de ABCD, donc parallèles entre eux.

D'après le théorème de Thalès, la base b de IJKL est égale à la moitié de la diagonale d de ABCD, et la hauteur h est égale à la moitié de la hauteur h’ prise d'un sommet à l'autre de ABCD (perpendiculairement à la diagonale).

Donc Aire(ABCD) = $\frac 12$ × d × h’ = $\frac 12$ × 2b × 2h = 2 × Aire(IJKL).

Théorème mécanique

Une force $\vec{F}$ se décompose en deux forces $\vec{F}_1$ et $\vec{F}_2$ :

$\vec{F} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2$.

Le théorème de Varignon énonce que

le moment de la force $\vec{F}$ par rapport à un point est égal à la somme des moments de forces $\vec{F}_1$ et $\vec{F}_2$ par rapport à ce même point,

si l'on considère un point A quelconque :

$M_{\vec{F}/A} = M_{\vec{F_1}/A} + M_{\vec{F_2}/A}$ (en valeur algébrique),

ou bien

$\vec{M}_{\vec{F}/A} = \vec{M}_{\vec{F_1}/A} + \vec{M}_{\vec{F_2}/A}$ (en vectoriel)

Voir aussi

Théorème de Wittenbauer