Topologie compacte-ouverte

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher

En mathématiques, la topologie compacte-ouverte est une topologie définie sur l'ensemble des applications continues entre deux espaces topologiques. C'est l'une des topologies les plus utilisées sur un tel espace fonctionnel, et elle est employée en théorie de l'homotopie et en analyse fonctionnelle. Elle a été introduite par Ralph Fox (en) en 1945[1].

Définition[modifier | modifier le code]

Soient X et Y deux espaces topologiques et C(X,Y) l'espace des applications continues de X dans Y. Pour toute partie compacte K de X et tout ouvert U de Y, notons V(K,U) l'ensemble de toutes les applications f∊C(X,Y) telles que f(K)⊂U. Alors, l'ensemble de tous ces V(K,U) forme une prébase de la topologie compacte-ouverte sur C(X,Y).

Propriétés[modifier | modifier le code]

  • Si * désigne l'espace singleton, C(*,Y) (muni de la topologie compacte-ouverte) est homéomorphe à Y.
  • Si Y est localement compact alors la composition de fonctions C(Y,ZC(X,Y)→C(X,Z), (f,g)↦f∘g est continue (les trois espaces de fonctions étant munis de la topologie compacte-ouverte et C(Y,ZC(X,Y) de la topologie produit).
  • Si Y est localement compact alors l'application d'évaluation C(Y,ZYZ, (f,x)↦f(x) est continue (c'est une conséquence des deux propriétés précédentes).
  • Si Y est localement compact et si C(Y,Z) est muni de la topologie compacte-ouverte, alors l'application naturelle de l'ensemble C(X×Y,Z) dans l'ensemble C(X,C(Y,Z)) est bijective[2], si bien que l'espace topologique C(Y,Z) représente le foncteur contravariant XC(X×Y,Z).
  • Si Y est un espace T0, T1, séparé, régulier ou de Tychonov alors C(X,Y) aussi.
  • Si X est séparé on peut, dans la définition ci-dessus d'une prébase de C(X,Y), se limiter aux U appartenant à une prébase de Y.
  • Si Y est un espace uniforme (par exemple un espace métrique) alors, sur C(X,Y), la topologie compacte-ouverte est induite par la structure uniforme de la convergence uniforme sur tout compact.
  • Si X est compact et si Y est métrisable par une distance d, alors la topologie compacte-ouverte sur C(X,Y) est celle de la convergence uniforme. Elle est donc métrisable, par la distance e définie par e(f,g) = sup{d(f(x),g(x)) : x∊X}.

Variante pour les applications Fréchet-différentiables[modifier | modifier le code]

Soient X et Y deux espaces de Banach sur le même sous-corps de C, U un ouvert de X, et Cm(U,Y) l'ensemble de toutes les applications continûment m-Fréchet-différentiables de U dans Y. Sur cet ensemble, on définit pour tout compact K de U une semi-norme pK par :

p_K(f)=\sup\{\|D^jf(x)\|~;~x\in K,~0\le j\le m\}.

Muni de toutes ces semi-normes, Cm(U,Y) est un espace localement convexe dont la topologie est encore appelée « topologie compacte-ouverte ».[réf. souhaitée]

Note et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Ralph H. Fox, « On topologies for function spaces, part I », Bull. Amer. Math. Soc., vol. 51,‎ 1945, p. 429-432
  2. Michel Zisman, Topologie algébrique élémentaire, Armand Colin, 1972, p. 34

Articles connexes[modifier | modifier le code]