Application bilinéaire

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En mathématiques, une application bilinéaire est un cas particulier d'application multilinéaire.

Définition[modifier | modifier le code]

Soient E, F et G trois espaces vectoriels sur un corps commutatif K et φ:E×F→G une application. On dit que φ est bilinéaire si elle est linéaire en chacune de ses variables, c'est-à-dire :

\forall (x,x') \in E^2, \forall (y,y')\in F^2, \forall \lambda \in K,\qquad\left\{\begin{matrix}\varphi (x+x',y)=\varphi(x,y)+\varphi(x',y)\\\varphi (x,y+y')=\varphi(x,y)+\varphi(x,y')\\\varphi(\lambda x,y)=\varphi(x,\lambda y)=\lambda\varphi(x,y).\end{matrix}\right.

Si G=K on parlera de forme bilinéaire.

Exemple[modifier | modifier le code]

Le produit scalaire est une forme bilinéaire, car il est distributif sur la somme vectorielle, et associatif avec la multiplication par un scalaire :

\forall (x,y,z)\in E^3,\forall(\lambda,\mu)\in\R^2, (x |\lambda y+\mu z)=\lambda(x | y)+\mu(x | z).

Généralisation au cas non commutatif[modifier | modifier le code]

Soit A et B deux anneaux, E un A-module à gauche, F un A-module à droite et G un (A, B)-bimodule. Cela signifie que G est un A-module à gauche et un B-module à droite, avec la relation de compatibilité

\forall (a,b,g) \in A \times B \times G, (ag)b=a(gb).

Soit alors φ:E×F→G une application. Comme plus haut, on dit que φ est bilinéaire si elle est linéaire en chacune de ses variables. Cela se traduit par

\forall (x,x') \in E^2, \forall (y,y')\in F^2, \forall (a,b) \in A \times B,\qquad\left\{\begin{matrix}\varphi (x+x',y)=\varphi(x,y)+\varphi(x',y)\\\varphi (x,y+y')=\varphi(x,y)+\varphi(x,y')\\\varphi(a x,y)=a \varphi(x,y)\\\varphi(x,y b)=\varphi(x,y )b.\end{matrix}\right.

Ceci est bien entendu valide lorsque A=B est un corps non commutatif K, E est un K-espace vectoriel à gauche, F est un K-espace vectoriel à droite, et G est un espace vectoriel à gauche et à droite avec la relation de compatibilité ci-dessus.

Bibliographie[modifier | modifier le code]