Symbole de Kronecker

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N.B. : Cet article concerne le « delta de Kronecker », qui est sans aucun lien avec le symbole de Kronecker utilisé en théorie des nombres, qui généralise le symbole de Jacobi à tous les entiers.

En mathématiques, le symbole de Kronecker est une fonction de deux variables qui est égale à 1 si celles-ci sont égales, et 0 sinon. Il est symbolisé par la lettre δ (delta minuscule) de l'alphabet grec.

\delta_{ij} = \delta_i^j = \delta^{ij} = \begin{cases} 
1 & \mbox{si } i=j  \\ 
0 & \mbox{si } i \ne j \end{cases}

Ou, en notation tensorielle :

\delta_i^j=\delta_i \cdot \delta^j

\delta^i et \delta_j sont des vecteurs unitaires tels que seule la i-ème (respectivement la j-ème) coordonnée soit non nulle (et vaille donc 1).

Lorsque l’une des variables est égale à 0, on l’omet généralement, d’où :

\delta_i = \begin{cases} 
1 & \mbox{si } i = 0  \\ 
0 & \mbox{si } i \ne 0 \end{cases}

Ce symbole a été nommé en l'honneur du mathématicien Leopold Kronecker.

Exemples[modifier | modifier le code]

Le symbole de Kronecker est utilisé dans de nombreux domaines mathématiques. Par exemple :

(\delta_{ij})_{(i,j)\in\{1,2,3\}^2} = \begin{pmatrix} 1 & 0  & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
  • lors de sommations, le symbole de Kronecker entraîne des simplifications :
\sum_{k=1}^n a_k\delta_{k,i} =\left\{\begin{array}{cl} a_i &\textrm{si} \quad 1\leq i\leq n\\0 &\textrm{sinon}\quad\end{array}\right.

Voir aussi[modifier | modifier le code]