Symbole de Kronecker

N.B.: Cet article concerne le "delta de Kronecker", qui est sans aucun lien avec le symbole de Kronecker utilisé en théorie des nombres, qui généralise le symbole de Jacobi à tous les entiers.

En mathématiques, le symbole de Kronecker est une fonction de deux variables qui est égale à 1 si celles-ci sont égales, et 0 sinon. Il est symbolisé par la lettre δ (delta minuscule) de l'alphabet grec.

$\delta_{ij} = \delta_i^j = \delta^{ij} = \begin{cases} 1 & \mbox{si } i=j \\ 0 & \mbox{si } i \ne j \end{cases}$

Ou, en notation tensorielle :

$\delta_i^j=\delta_i \cdot \delta^j$

où $\delta^i$ et $\delta_j$ sont des vecteurs unitaires tels que seule la i-ème (respectivement la j-ème) coordonnée soit non nulle (et vaille donc 1).

Ce symbole a été nommé en l'honneur du mathématicien Leopold Kronecker.

Exemples

Le symbole de Kronecker est utilisé dans de nombreux domaines mathématiques. Par exemple :

• en algèbre linéaire, la matrice identité d'ordre 3 peut s'écrire :

$(\delta_{ij})_{(i,j)\in\{1,2,3\}^2} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

• lors de sommations, le symbole de Kronecker entraîne des simplifications :

$\sum_{k=1}^n a_k\delta_{k,i} =\left\{\begin{array}{cl} a_i &\textrm{si} \quad 1\leq i\leq n\\0 &\textrm{sinon}\quad\end{array}\right.$

Voir aussi

• Symbole de Levi-Civita
• Produit de Kronecker