Procédé de Gram-Schmidt

En algèbre linéaire, dans un espace préhilbertien (c'est-à-dire un espace vectoriel sur le corps des réels ou celui des complexes, muni d'un produit scalaire), le procédé de Gram-Schmidt est un algorithme pour construire, à partir d'une famille libre finie, une base orthonormée du sous-espace qu'elle engendre. On peut aussi utiliser le procédé de Gram-Schmidt sur une famille infinie dénombrable de vecteurs. Ceci permet de démontrer l'existence d'une base hilbertienne si l'espace est séparable.

Énoncé

Précisément, en notant $N= [0,p]\,$ ou ℕ :

Théorème — Si $(x_n)_{n \in N}\,$ est une famille libre d'un espace préhilbertien, il existe une et une seule famille orthonormée $(e_n)_{n \in N}\,$ telle que :

• ${\rm Vect}(e_0, \ldots, e_n) = {\rm Vect}(x_0, \ldots, x_n)\,$ pour tout $n\,$
• le produit scalaire $(e_n|x_n)\,$ est strictement positif

On oublie souvent la condition d'unicité. Elle permet de parler de la famille orthonormalisée de Gram-Schmidt associée à $(x_n)_{n \in\N}\,$.

L'étape générale de l'algorithme consiste à soustraire au vecteur v_{j + 1} son projeté orthogonal sur le sous-espace engendré par $v_0,\ldots,v_j$. On s'appuie sur la famille orthonormale déjà construite pour le calcul de ce projeté.

Cette méthode a été publiée par Jørgen Pedersen Gram en 1883 et reformulée par Erhard Schmidt en 1907, mais on la trouve déjà dans des travaux de 1816 de Laplace.

Applications

• Le procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt donne (constructivement !) l'existence de bases orthonormées pour tout espace euclidien ou hermitien.
• On peut aussi orthonormaliser la base canonique (1,X, …) de ℝ[X] et obtenir ainsi une famille de polynômes orthogonaux.
• Le procédé de Schmidt peut être utilisé dans la décomposition QR d'une matrice.

Procédé de Gram-Schmidt

Nous définissons l'opérateur de projection orthogonale sur une droite vectorielle dirigée par le vecteur u par :

$\mathrm{proj}_{\mathbf{u}}\,(\mathbf{v}) = {\langle \mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle\over\langle \mathbf{u}, \mathbf{u}\rangle}\mathbf{u}.$

Le procédé de Gram-Schmidt est alors :

Les deux premières étapes du procédé de Gram–Schmidt.

	$\mathbf{u}_1 = \mathbf{v}_1,$		$\mathbf{e}_1 = {\mathbf{u}_1 \over ||\mathbf{u}_1||}$
	$\mathbf{u}_2 = \mathbf{v}_2-\mathrm{proj}_{\mathbf{u}_1}\,(\mathbf{v}_2),$		$\mathbf{e}_2 = {\mathbf{u}_2 \over ||\mathbf{u}_2||}$
	$\mathbf{u}_3 = \mathbf{v}_3-\mathrm{proj}_{\mathbf{u}_1}\,(\mathbf{v}_3)-\mathrm{proj}_{\mathbf{u}_2}\,(\mathbf{v}_3),$		$\mathbf{e}_3 = {\mathbf{u}_3 \over ||\mathbf{u}_3||}$
	$\vdots$		$\vdots$
	$\mathbf{u}_k = \mathbf{v}_k-\sum_{j=1}^{k-1}\mathrm{proj}_{\mathbf{u}_j}\,(\mathbf{v}_k),$		$\mathbf{e}_k = {\mathbf{u}_k\over||\mathbf{u}_k||}$

Notes et références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Gram–Schmidt process » (voir la liste des auteurs)