Tétraèdre

Tétraèdre
Type	Solide de Platon
Type de faces	4×{3}
Configuration de sommet	3.3.3
Faces	4
Arêtes	6
Sommets	4
Caractéristique	2
Symbole de Schläfli	{3,3} s{2,2}
Symbole de Wythoff	3 | 2 3 | 2 2 2
Diagramme de Coxeter-Dynkin
Type de faces	4×{3}
Références d'indexation	U01, C15, W1
Dual	Auto-dual
Groupe de symétrie	Td
Propriétés	Uniforme, convexe, deltaèdre
3.3.3 (Figure de sommet)	Auto-dual (Dual)

Le tétraèdre (du grec tétra : quatre), est un polyèdre composé de quatre triangles, de la famille des pyramides .

Chaque sommet du tétraèdre est relié aux autres par une arête. Cette caractéristique est rare : seulement deux polyèdres la possédant ont été découverts dont le polyèdre de Császár (prononciation magyar) qui est homéomorphe au tore, a 7 sommets d'ordre 6, 14 faces triangulaires, 21 arêtes, et 1 trou.

Le tétraèdre régulier, formé de quatre triangles équilatéraux, est l'un des cinq polyèdres réguliers, ou solides de Platon. C'est le seul d'entre eux à avoir quatre faces.

Le squelette du tétraèdre régulier, l'ensemble de ses sommets reliés par ses arêtes, forme un graphe appelé graphe tétraédrique.

Un tétraèdre est dit orthocentrique lorsque ses quatre hauteurs sont concourantes. Le point de concours est alors l'orthocentre du tétraèdre.

Le tétraèdre est un simplexe de degré 3.

Volume du tétraèdre

$V=\frac{1}{3}Bh$

si $B$ est la surface d'une base du tétraèdre et $h$ la hauteur du tétraèdre s'appuyant sur cette base

$V = \frac{1}{6} \left|det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD})\right|$ pour le tétraèdre construit sur A, B, C et D.

Tétraèdre régulier

Article détaillé : Tétraèdre régulier.

Si $a$ est la longueur d'une arête :

• La surface du tétraèdre est égale à : $A=\sqrt{3} a^2$
• La hauteur est égale à : $H=\sqrt{\frac23}a={\sqrt6\over3}a$
• Le centre du tétraèdre est situé, par rapport à la base, à : $h=\tfrac14 H$
• Le volume est égal : $V=\tfrac{1}{12}\sqrt{2}a^3$
• La valeur de l'angle central du tétraèdre régulier (c’est-à-dire celui que forment tous les segments qui partent du centre vers les quatre sommets) est de $\arccos(-1/3)\,$ (approx. 109.471°).

Dualité du tétraèdre régulier

Le tétraèdre est son propre dual, c'est-à-dire qu'en joignant les centres des faces d'un tétraèdre régulier, on obtient un nouveau tétraèdre régulier.

Le groupe des isométries laissant globalement invariant le tétraèdre régulier est isomorphe au groupe symétrique $\mathfrak{S}_4$. Le groupe des isométries positives ayant cette même propriété est quant à lui isomorphe au groupe alterné $\mathfrak{A}_4$. Une démonstration est proposée dans l'article Groupe alterné.

Tétraèdres de Möbius

Une curiosité dont l'équivalent n'existe pas pour les triangles : on peut construire deux tétraèdres dits tétraèdres de Möbius tels que les sommets de l'un quelconque d'entre eux appartiennent aux plans (respectifs) des faces opposées de l'autre. La figure jointe montre un exemple de cela et on en trouvera l'explication dans le livre Le Jardin d'Eiden (2012, éditions Calvage et Mounet).

Sphère circonscrite

Article détaillé : Sphère#Sphère circonscrite à un tétraèdre .