Réflexion (mathématiques)

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La composée de deux réflexions du plan d'axes parallèles est une translation.

La composée de deux réflexions du plan d'axes concourants est une rotation plane autour du point d'intersection des axes.

En mathématiques, une réflexion du plan euclidien est une symétrie orthogonale par rapport à une droite (droite vectorielle s'il s'agit d'un plan vectoriel euclidien). Elle constitue alors une symétrie axiale orthogonale.

Plus généralement, dans un espace euclidien quelconque, une réflexion est une symétrie orthogonale par rapport à un hyperplan, c'est-à-dire à un sous-espace de codimension 1. En dimension 3, il s'agit donc d'une symétrie orthogonale par rapport à un plan. L'origine du terme se conçoit bien en liaison avec les miroirs qui réfléchissent une image. Figure image et figure initiale sont isométriques.

Les réflexions, comme toutes les symétries, sont des transformations involutives.

Une réflexion est un antidéplacement (ou isométrie négative).

Exemples

Dans un plan vectoriel euclidien rapporté à une base orthonormée,

• la réflexion par rapport à l'axe des $x$ est l'application

$(x,y)\mapsto(x,-y)$ ;

• la réflexion par rapport à l'axe des $y$ est l'application

$(x,y)\mapsto(-x,y)$ ;

• la réflexion par rapport à l'axe $y=x$ est l'application

$(x,y)\mapsto(y,x)$ ;

• la réflexion par rapport à l'axe $y=-x$ est l'application

$(x,y)\mapsto(-y,-x)$.