Antiprisme

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Ensemble des antiprismes uniformes
Antiprisme heptadécagonal
Type Polyèdre uniforme
Faces 2 n-gones, 2n triangles
Arêtes 4n
Sommets 2n
Configuration de sommet 3.3.3.n
Groupe de symétrie Dnd
Polyèdre dual trapézoèdre
Propriétés convexe, Sommet uniforme semi-régulier

Un antiprisme à n faces est un polyèdre composé de deux copies d'un certain polygone particulier à n côtés, connecté par une bande de triangles alternés.

Les antiprismes sont une sous-classe des prismatoïdes.

Les antiprismes sont similaires aux prismes excepté le fait que les bases sont tournées relativement l'une à l'autre, et que les faces des côtés sont des triangles, plutôt que des quadrilatères : les sommets sont symétriquement alternés.

Dans le cas d'une base régulière à n côtés, on considère généralement le cas où sa copie est tournée d'un angle de 180°/n. La régularité supplémentaire est obtenue par le fait que la droite reliant les centres des bases planes est perpendiculaires à ces bases, ce qui en fait un antiprisme droit.

Un antiprisme uniforme possède, en dehors des faces des bases, 2n triangles équilatéral. Ils forment une série infinie de polyèdres de sommet uniforme, comme le font les prismes uniformes. Pour n=2, nous avons comme cas dégénéré le tétraèdre régulier.

Coordonnées cartésiennes[modifier | modifier le code]

Les coordonnées cartésiennes pour les sommets d'un antiprisme droit avec des bases n-gonales et des triangles isocèles sont

( \cos(k\pi/n), \sin(k\pi/n), (-1)^k a )\;

avec k compris entre 0 et 2n-1; si les triangles sont équilatéraux,

2a^2=\cos(\pi/n)-\cos(2\pi/n)\;.

Symétrie[modifier | modifier le code]

Le groupe de symétrie d'un antiprisme droit à n côtés avec une base régulière et des faces en forme de triangles isocèles est Dnd d'ordre 4n, excepté dans le cas d'un tétraèdre, qui possède le groupe de symétrie plus grand Td d'ordre 24, qui a trois versions de D2d pour sous-groupes, et l'octaèdre, qui a le groupe symétrie plus grand Od d'ordre 48, qui a quatre versions de D3d pour sous-groupes.

Le groupe de symétrie contient une inversion si et seulement si n est impair.

Le groupe de rotation est Dn d'ordre 2n, excepté dans le cas du tétraèdre, qui a un groupe de rotation plus grand T d'ordre 12, qui a trois versions de D2 comme sous-groupes, et l'octaèdre, qui a le groupe de rotation plus grand O d'ordre 24, qui a quatre versions de D3 comme sous-groupes.

Hauteur, aire et volume[modifier | modifier le code]

Pour tout antiprisme régulier d'arête a et d'ordre n :

  • La hauteur vaut : h = a \times \frac{1}{2} \sqrt{3 - \tan^2\frac{90}{n} }
  • La surface totale vaut : A = a^2 \times \frac{n}{2} \biggl( \sqrt{3} + \frac{1}{\tan \frac{180}{n} } \biggl)
  • Le volume vaut : V = \frac{h^3 \times n}{6 \tan{\frac{90}{n} } }

Polyèdres rattachés[modifier | modifier le code]

Si n=2 alors les deux faces n-gonales du dessus et du dessous sont des segments othogonaux entre eux, reliés par 4 triangles; nous obtenons le tétraèdre.

Si n=3 alors nous avons seulement des triangles; nous obtenons l'octaèdre.

Les deux sont des types particuliers d'antiprismes triangulaires qui ont aussi chaque sommet et chaque arête uniforme, et donc, qui comptent parmi les solides de Platon.


Les polyèdres duaux des antiprismes sont les trapézoèdres. Leur existence fut discutée en premier et leur nom fut attribué par Johannes Kepler.

Ordre 3 4 5 6
Antiprisme Trigonal antiprism.png Square antiprism.png Pentagonal antiprism.png Hexagonal antiprism.png
Trapézoèdre (dual) Trigonal trapezohedron.png Tetragonal trapezohedron.png Pentagonal trapezohedron.svg Hexagonal trapezohedron.png

Antiprismes étoilés[modifier | modifier le code]

Les antiprismes uniformes peuvent aussi être construits à partir des polygones étoilés : {n/m} = {5/2}, {7/3}, {7/4}, {8/3}, {9/2}, {9/4}, {10/3}…

Pour une paire d'entiers premiers entre eux n,m tel que 2 < n/m < 3, il existe deux formes :

  • un antiprisme normal avec une configuration de sommet 3.3.3.n/m;
  • un antiprisme croisé avec une configuration de sommet 3.3.3.n/(n-m).

Liens externes[modifier | modifier le code]