Figure de sommet

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La figure de sommet d’un prisme triangulaire est un triangle isocèle. La face triangulaire est représentée par l’arête courte, et les deux faces carrées sont représentées par les arêtes longues. Une notation courte pour cette figure de sommet est 3.4.4.
La figure de sommet pour le grand icosaèdre non convexe est un pentagramme régulier ou un polygone étoilé {5/2}.

En géométrie, une figure de sommet représente l’arrangement d’un ensemble de points connectés de tous les sommets voisins, dans un polytope pour un sommet donné. Ceci s’applique également bien pour les pavages infinis, ou pavages remplissant l’espace avec des cellules polytopiques.

Une figure de sommet pour un n-polytope est un (n-1)-polytope. Par exemple, une figure de sommet pour un polyèdre est une figure polygonale, et la figure de sommet pour un polychore est une figure polyèdrique.

En considérant la connectivité de ces sommets voisins, un (n-1)-polytope totalement imaginaire peut être construit pour chaque sommet d’un polytope :

  • Chaque sommet de la figure de sommet coïncide avec un sommet du polytope original.
  • Chaque arête de la figure de sommet existe sur ou dans une face du polytope original connectant deux sommets alternés à partir d’une face originale.
  • Chaque face de la figure de sommet existe sur ou dans une cellule du n-polytope original (pour n>3).
  • … et ainsi de suite pour les éléments d’ordre plus élevés dans les polytopes d’ordres plus élevés.

Les figures de sommet sont les plus utiles pour les polytopes uniformes (en) car une figure de sommet peut impliquer le polytope entier.

Pour les polyèdres, la figure de sommet peut être représentée par une notation de configuration de sommet (en), en listant les faces dans une suite autour d’un sommet. Par exemple 3.4.4.4 est un sommet avec un triangle et trois carrés, et il représente le petit rhombicuboctaèdre.

Si le polytope est de sommet uniforme, la figure de sommet existera dans une surface hyperplane du n-espace. En général, les figures de sommet n’ont pas besoin d’être planaires.

Comme les polyèdres non convexes, les figures de sommet peuvent aussi être non convexes. Les polytopes uniformes peuvent avoir des faces en polygones étoilés et des figures de sommet par exemple.

Polytopes réguliers[modifier | modifier le code]

Si un polytope est régulier, il peut être représenté par un symbole de Schläfli et, la cellule et la figure de sommet peuvent tous deux être extraits trivialement de cette notation.

En général, un polytope régulier avec un symbole de Schläfli {a,b,c,...,y,z} possède des cellules {a,b,c,...,y}, et des figures de sommet {b,c,...,y,z}.

  1. Pour un polyèdre régulier {p, q}, la figure de sommet est {q}, un q-gone.
    • Exemple, la figure de sommet pour un cube {4,3} est le triangle {3}.
  2. Pour un polychore régulier ou un pavage remplissant l’espace {p,q,r}, la figure de sommet est {q,r}.
    • Exemple, la figure de sommet pour un hypercube {4,3,3} est un tétraèdre régulier {3,3}.
    • La figure de sommet pour un nid d’abeille cubique (en) {4,3,4} est l’octaèdre régulier {3,4}.

Puisque le polytope dual d’un polytope régulier est aussi régulier et est représenté par le symbole de Schläfli dont les indices sont inversés, il est facile de voir que la figure de sommet du dual est la cellule du polytope dual.

Un exemple de figure de sommet d'un nid d'abeille[modifier | modifier le code]

Nid d’abeille cubique tronqué

La figure de sommet d’un nid d’abeille cubique tronqué (en) est une pyramide carrée non uniforme. Un octaèdre et quatre cube tronqués se rencontrent à chaque sommet pour former un pavage remplissant l’espace.

Figure de sommet : Une pyramide carrée non uniforme VF-truncated cubic.png
Créée comme une base carrée à partir d’un octaèdre Octahedron vertfig.png
Et quatre côtés en triangles isocèles à partir de cubes tronqués Truncated cube vertfig.png

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