Figure isogonale

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher
Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Isogonal.
Exemple : Un cuboctaèdre tronqué isogonal, construit à partir d'un cube aux arêtes chanfreinées et aux sommets tronqués

En géométrie, un polytope (un polygone ou un polyèdre, par exemple) est dit isogonal si tous ses sommets sont identiques. Autrement dit, chaque sommet est entouré du même type de face dans le même ordre et avec les mêmes angles entre les faces correspondantes.

Techniquement, pour un couple quelconque de sommets il existe une symétrie faisant correspondre le premier au second de manière isométrique.

Polygone isogonal[modifier | modifier le code]

Un exemple d'octogone isogonal

Tous les polygones réguliers, qu'ils soient convexes ou étoilés, sont isogonaux.

Certains polygones à un nombre pair de côtés, dont la longueur prend alternativement deux valeurs différentes, comme par exemple le rectangle, sont isogonaux. Tous les polygones de ce type à 2n côtés (n = 2, 3, …) présentent une symétrie diédrale D_n avec des axes de symétrie reliant les milieux des côtés.

Polyèdre isogonal[modifier | modifier le code]

Les polyèdres isogonaux peuvent être classés en :

  • Régulier s'il est également isoédral (en) et isotoxal (en) ; ceci implique que chaque face soit un même polygone régulier.
  • Quasi-régulier s'il est également isotoxal mais non nécessairement isoédral.
  • Noble (en) s'il est également isoédral mais non nécessairement isotoxal.
  • Semi-régulier si chaque face est un polygone régulier mais que le polyèdre n'est ni isoèdral ni isotoxal.
  • Uniforme si chaque face est un polygone régulier, c'est-à-dire que le polyèdre est régulier, quasi-régulier ou semi-régulier.

Un polyèdre isogonal est un cas particulier de figure de sommet. Si les faces sont régulières (et que donc le polyèdre est uniforme) il peut être représenté par une configuration de sommets (en) indiquant la suite des faces autour de chaque sommet.

Polytopes isogonaux et tessellations[modifier | modifier le code]

Cette définition peut être étendue aux polytopes et aux tessellations. Plus généralement, les polytopes uniformes (en) sont isogonaux, par exemple, les 4-polytopes uniformes et les nids d'abeille uniformes convexes (en).

Le dual d'un polytope isogonal est isoédral.

Figures k-isogonales[modifier | modifier le code]

Un polytope est dit k-isogonal si ses sommets formes des classes k-transitives.

Truncated rhombic dodecahedron2-2.svg
Ce dodécaèdre rhombique tronqué est 2-isogonal car il contient 2 classes de transitivité de sommets. Ce polyèdre est formé de carrés et d'hexagones aplatis.
Dem3446bc.svg
Ce pavage semi-régulier est également2-isogonal. Il est constitué de triangles équilatéraux, de carrés et d'hexagones réguliers.

Références[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]