Loi commutative

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En mathématiques, et plus précisément en algèbre générale, une loi de composition interne \star sur un ensemble S est dite commutative lorsque, pour tous x et y dans S,

 x \star y = y \star x.

Exemples[modifier | modifier le code]

Les exemples les plus simples de lois commutatives sont sans doute l'addition et la multiplication des entiers naturels. L'addition et la multiplication des nombres réels et des nombres complexes, l'addition des vecteurs, l'intersection et la réunion des ensembles sont également des lois commutatives.

À l'inverse, la soustraction, la division, la multiplication des matrices, la composition de fonctions et la multiplication des quaternions sont des lois non commutatives.

Histoire[modifier | modifier le code]

Extrait de la p. 98 de l'article de Servois où est apparu pour la première fois le terme.

Certains écrits des temps anciens utilisent implicitement des propriétés de commutativité. Les Égyptiens utilisaient la commutativité de la multiplication pour simplifier les calculs de produits[1],[2]. Euclide, dans ses Éléments, avait aussi supposé la commutativité de la multiplication[3]. La définition formelle de la commutativité a émergé à la fin du XVIIIe et au début du XIXe siècle, lorsque les mathématiciens ont commencé à construire une théorie des fonctions. Aujourd'hui, la propriété de commutativité est considérée comme une propriété basique, utilisée dans la plupart des branches des mathématiques.

La première apparition du terme « commutatif » remonte à un article aux Annales de Gergonne écrit par François-Joseph Servois en 1814[4],[5],[6], où celui-ci étudiait les propriétés de fonctions qui commutent entre elles (par composition). L'expression commutative law (en anglais) est ensuite apparue dans les Philosophical Transactions en 1844[5], sous la plume de George Boole[7].

Structures à lois commutatives[modifier | modifier le code]

Les structures suivantes ont pour point commun d'être décrites par la donnée d'une ou plusieurs lois internes dont on exige la commutativité :

Éléments permutables[modifier | modifier le code]

Soit S un ensemble muni d'une loi de composition interne \star. Deux éléments x et y de S sont dits permutables lorsque :

x\star y=y\star x.

On dit aussi que x et y commutent.

Ainsi \star est commutative si et seulement si pour tout couple (x,y) d'éléments de S, les éléments x et y sont permutables.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Commutative property » (voir la liste des auteurs)

  1. Lumpkin, p.11
  2. Gay and Shute, p.?
  3. (en) John J. O’Connor et Edmund F. Robertson, « The real numbers: Pythagoras to Stevin », dans MacTutor History of Mathematics archive, université de St Andrews (lire en ligne).
  4. Servois, « Analise transcendante. Essai sur un nouveau mode d'exposition des principes du calcul differentiel », Annales de Gergonne, vol. 5, no 4,‎ 1er octobre 1814, p. 93-140
  5. a et b Julio Cabillón et Jeff Miller, Earliest Known Uses Of Mathematical Terms, Commutative and Distributive
  6. (en) John J. O’Connor et Edmund F. Robertson, « François Joseph Servois », dans MacTutor History of Mathematics archive, université de St Andrews (lire en ligne).
  7. (en) G. Boole, « On a general method in analysis », Philos. Trans. R. Soc., vol. 134,‎ 1844, p. 225-282

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]

Article décrivant les connaissances mathématiques des civilisations anciennes.
  • (en) Gay Robins et Charles Shute, 1987, The Rhind Mathematical Papyrus: An Ancient Egyptian Text, Londres (British Museum) (ISBN 0-7141-0944-4)
Traduction et interprétation du Papyrus Rhind.