Anneau opposé

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L'anneau opposé[1] A0 ou Aop d'un anneau A possède le même groupe additif sous-jacent que A et sa multiplication est effectuée dans l'ordre opposé : si l'on note \cdot_A et \cdot_{A^{op}} les multiplications respectives de A et Aop, on a

 a\cdot_{A^{op}} b = b\cdot_A a

A et Aop ont même zéro et (le cas échéant) même unité. L'égalité A = Aop a lieu si et seulement si A est commutatif.

Si A est un corps (non forcément commutatif), l'anneau opposé de A est lui aussi un corps. Dans ce cas, on dit[2] « le corps opposé de A » plutôt que « l'anneau opposé de A ».

La notion d'anneau opposé permet d'unifier l'étude des modules à gauche et des modules à droite, car les modules à droite sur un anneau sont exactement les modules à gauche sur l'anneau opposé[3].

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Expression conforme à N. Bourbaki, Algèbre I, Paris, 1970, p. I, 96, déf. V, qui emploie la notation A0.
  2. Voir par exemple N. Bourbaki, Algèbre I, Paris, 1970, p. II, 159, prop. 10.
  3. N. Bourbaki, Algèbre I, Paris, 1970, p. II, 2.