Moyenne arithmético-géométrique

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La moyenne arithmético-géométrique de deux réels positifs est une valeur intermédiaire obtenue comme limite de deux suites adjacentes satisfaisant une relation de récurrence qui reprend les formules de moyennes arithmétique et géométrique.

La convergence quadratique de ces suites permet une approximation rapide de la moyenne arithmético-géométrique qui est notamment associée à la longueur d'une ellipse en fonction des longueurs de ses axes.

Définition

Étant donné deux réels positifs $a$ et $b$, il est possible de définir deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ de premiers termes $u_{0} = \min(a,b)$, $v_{0} = \max(a,b)$ et satisfaisant les relations de récurrence :

$u_{n+1} = \sqrt{u_nv_n}$

$v_{n+1} = {1 \over 2} (u_n + v_n)$.

Les propriétés des moyennes arithmétique et géométrique assurent que ces deux suites sont adjacentes donc convergent vers une même limite qui est appelée moyenne arithmético-géométrique de $a$ et $b$.