Unicursale

En mathématiques, plus précisément en géométrie, une courbe plane est dite unicursale, ou rationnelle, si elle admet un paramétrage tel que ses coordonnées $x$ et $y$ sont toutes les deux des fractions rationnelles du paramètre.

Exemples[modifier | modifier le code]

Droite[modifier | modifier le code]

Une droite est unicursale puisqu'elle admet une représentation paramétrique de la forme

\left\{{\begin{array}{l}x=x_{0}+at\\[3pt]y=y_{0}+bt\end{array}}\right.

où $\left(x_{0},y_{0}\right)$ sont les coordonnées d'un point de la droite, et ${\vec {n}}{\binom {a}{b}}$ un vecteur directeur de la droite.

Cercle[modifier | modifier le code]

Un cercle est unicursal. Dans le cas du cercle de centre l'origine du repère et de rayon 1, on a la représentation paramétrique suivante :

\left\{{\begin{array}{l}x={\dfrac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\\[3pt]y={\dfrac {2t}{1+t^{2}}}\end{array}}\right.

En réalité, l'image de $\mathbb {R}$ par cette fonction n'est pas le cercle entier puisqu'il manque le point de coordonnées $\left(-1;0\right)$ . Mais on admet que ce point est l'image de $\infty$ par la représentation paramétrique. Ceci est un exemple de compactifié d'Alexandrov de $\mathbb {R}$ .

Coniques[modifier | modifier le code]

Les coniques non dégénérées aussi sont unicursales ; voici par exemple la paramétrisation rationnelle d'une hyperbole équilatère :

\left\{{\begin{array}{l}x={\dfrac {1+t^{2}}{1-t^{2}}}\\[3pt]y={\dfrac {2t}{1-t^{2}}}\end{array}}\right.

Cubiques[modifier | modifier le code]

Caractérisation[modifier | modifier le code]

Théorème — Une courbe cubique est unicursale si et seulement si elle admet un point double, c'est-à-dire si et seulement si elle est nodale ou cuspidale^[1]^{[réf. incomplète]}.

En particulier, une courbe elliptique n’est pas unicursale.

Exemples[modifier | modifier le code]

Cubiques nodales[modifier | modifier le code]

Le folium de Descartes a pour représentation paramétrique

\left\{{\begin{array}{l}x={\dfrac {3t}{1+t^{3}}}\\[3pt]y={\dfrac {3t^{2}}{1+t^{3}}}.\end{array}}\right.

Le point double est l'origine $(0,0)$ du repère, obtenue pour $t=0$ et pour $t=\pm \infty$ .

De façon générale, les strophoïdes sont unicursales.

Cubiques cuspidales[modifier | modifier le code]

La parabole semi-cubique^[2] admet pour représentation paramétrique

\left\{{\begin{array}{l}x=t^{2}\\[3pt]y=t^{3}.\end{array}}\right.

Elle est même mieux que rationnelle, puisque $x$ et $y$ sont même des polynômes en $t$ .

Quartiques[modifier | modifier le code]

Un exemple de quartique unicursale est la lemniscate de Bernoulli dont une équation paramétrique est

\left\{{\begin{array}{l}x={\dfrac {2t}{1+t^{4}}}\\[3pt]y={\dfrac {2t^{3}}{1+t^{4}}}.\end{array}}\right.

Algébricité[modifier | modifier le code]

Proposition[modifier | modifier le code]

Par élimination de $t$ entre $x$ et $y$ , toute courbe unicursale est algébrique.

Article connexe : Géométrie algébrique.

Réciproque[modifier | modifier le code]

Une courbe algébrique n'est pas nécessairement unicursale. Elle l'est si et seulement si son genre est 0.

Exemple[modifier | modifier le code]

On peut montrer que la courbe affine plane d'équation $(x^{2}-1)^{2}-2y^{3}-3y^{2}$ ^{[incompréhensible]} est de genre 0. Elle est donc unicursale et admet un paramétrage rationnel, par exemple :

{\begin{cases}x&=t(2t^{2}-3)\\y&=2t^{4}-4t^{2}+{\frac {1}{2}}\end{cases}}

avec $t={\frac {xy}{x^{2}-y-1}}$ .

Contre-exemples[modifier | modifier le code]

Coniques : Une conique dégénérée n'est pas unicursale, par exemple la « courbe » d'équation $x^{2}=1$ n'a pas de représentation paramétrique rationnelle (une fonction de $t$ qui ne prend que les valeurs 1 et –1 ne peut être rationnelle). Cependant, cette conique dégénérée est constituée de deux composantes, les deux droites d'équation $x=1$ et $x=-1$ qui sont chacune unicursale.

Cubiques : Les cubiques sans point double ne sont pas unicursales. En effet, leur genre vaut 1. Par contre, une cubique ayant un point double est de genre 0.

Applications[modifier | modifier le code]

Points à coordonnées rationnelles[modifier | modifier le code]

Si $t\in \mathbb {Q}$ (par exemple si $t$ est un entier), les coordonnées $x(t)$ et $y(t)$ sont elles-mêmes rationnelles. On peut donc utiliser la représentation paramétrique d'une courbe unicursale pour obtenir des points à coordonnées rationnelles de celle-ci.

Exemple : La recherche de points à coordonnées rationnelles sur le cercle unité (voir supra) est liée à celle des nombres pythagoriciens : avec $t=5$ , on a

\left\{{\begin{array}{l}x={\dfrac {1-5^{2}}{1+5^{2}}}={\dfrac {1-25}{1+25}}=-{\dfrac {24}{26}}=-{\dfrac {12}{13}}\\[4pt]y={\dfrac {2\times 5}{1+5^{2}}}={\dfrac {10}{1+25}}={\dfrac {5}{13}}\end{array}}\right.

où l'on reconnaît le triplet $(5,12,13)$ .

Nomogrammes[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Nomogramme.

Clark a utilisé les représentations paramétriques rationnelles du cercle et du folium pour créer des nomogrammes de multiplication (cercle doublement coté avec une droite cotée, folium triplement coté).

Références[modifier | modifier le code]

↑ Cours de géométrie de Pierre Samuel.
↑ « Parabole semi-cubique », sur mathcurve.com.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Daniel Perrin, Géométrie algébrique. Une introduction [détail des éditions], chap. IX
Serge Mehl, « Courbes unicursales », sur ChronoMath

Portail de la géométrie

[1] Cours de géométrie de Pierre Samuel.

[2] « Parabole semi-cubique », sur mathcurve.com.

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