Formule de De Moivre

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Abraham de Moivre a donné son nom à la formule.

La formule de De Moivre affirme, pour tout nombre réel x et pour tout nombre entier n

\left(\cos x+\mathrm i\sin x\right)^n=\cos(nx)+\mathrm i\sin(nx)\quad (1).

Le nombre i désigne l'unité imaginaire, c'est-à-dire le choix d'une racine carrée de -1. Elle porte le nom du mathématicien français Abraham de Moivre, qui utilisa une formule relativement proche dans ses écrits.

En France, elle est aussi parfois appelée formule de Moivre par erreur, car normalement la particule onomastique devrait être conservée et prendre une majuscule dans ce cas particulier.

Cette formule met en relation les nombres complexes et les fonctions trigonométriques cosinus et sinus. Parfois la formule est réécrite en remplaçant « cos(x) + i·sin(x) » par « exp( i x) ». C'est la formule d'Euler. En élevant les deux membres de cette formule à la puissance n, on démontre directement la formule de De Moivre. C'est une démonstration beaucoup plus simple que la démonstration par récurrence donnée ci-dessous.

Interprétation géométrique[modifier | modifier le code]

Représentation graphique de z dans le plan complexe, coordonnées cartésiennes et polaire

Pour x réel, la formule \cos^2 x+\sin^2 x=1 implique que le nombre complexe z=\cos(x)+\mathrm i\sin(x) soit de module 1. Dans le plan d'Argand, les nombres complexes de module 1 forment le cercle C de centre O et de rayon 1 (le cercle unité). En particulier, le point M d'affixe z appartient à C. Si I est le point d'affixe 1, l'angle (OI,OM) mesure x radians. La formule de De Moivre affirme que zn est l'affixe du point N de C tel que l'angle orienté (OI,ON) mesure nx radians.

La formule de De Moivre s'appuie sur un résultat plus général concernant l'interprétation géométrique du produit de nombres complexes : si z et w sont deux nombres complexes de module 1, on place les points M et N d'affixe z et w, et on obtient zw comme l'affixe du point P de C tel que (OI,OP)=(OI,OM)+(OI,ON). On dispose alors de la formule générale

\left(\cos x+\mathrm i\sin x\right)\left(\cos y+\mathrm i \sin y\right)=\left(\cos(x+y)+\mathrm i\sin(x+y)\right)\quad (2).

Historique[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Histoire des nombres complexes.
Timbre à l'effigie de Euler

La forme courante de la formule apparaît dans l'Introduction à l'analyse infinitésimale[1] d'Euler qui la démontre[2], pour tout entier naturel n, en 1748. Mais elle apparait de manière implicite[3] chez Abraham de Moivre à plusieurs reprises à partir de 1707[4], dans ses travaux sur les racines nièmes de nombres complexes. Les deux problèmes sont effectivement liés : écrire que (cos(x)+i sin(x))n= cos(nx) + i sin(nx) est équivalent à dire que cos(x)+i sin(x) est une des racines nièmes du complexe cos(nx)+i sin(nx).

Démonstration...[modifier | modifier le code]

De la formule (2)[modifier | modifier le code]

Pour tous x et y réels, on a :

\left(\cos x+\mathrm i\sin x\right)\left(\cos y+\mathrm i\sin y\right)=\left(\cos x\cos y-\sin x\sin y\right)+\mathrm i\left(\sin x\cos y+\cos x\sin y\right).

Or,

\cos(x+y)=\left(\cos x\cos y-\sin x\sin y\right) et \sin(x+y)=\left(\sin x\cos y+\cos x\sin y\right).

Donc,

\left(\cos x+\mathrm i\sin x\right)\left(\cos y+\mathrm i\sin y\right)=\cos(x+y)+\mathrm i\sin(x+y).

La formule (2) est donc établie.

De la formule (1)[modifier | modifier le code]

On démontre (1) dans un premier temps pour n>0 par récurrence sur n.

- Pour n =1, la formule est vraie.

- Supposons la formule vraie pour un entier k non nul. Alors,

\left(\cos x+\mathrm i\sin x\right)^k=\cos(kx)+\mathrm i\sin(kx).

Ce qui donne :


\begin{alignat}{2}
    \left(\cos x+\mathrm i\sin x\right)^{k+1} & = \left(\cos x+\mathrm i\sin x\right)^{k} \left(\cos x+\mathrm i\sin x\right)\\
                                      & = \left[\cos\left(kx\right) + \mathrm i\sin\left(kx\right)\right] \left(\cos x+\mathrm i\sin x\right) 
 \end{alignat}

Par la formule (2), il vient :

\left(\cos x+\mathrm i\sin x\right)^{k+1}=\cos((k+1)x)+\mathrm i\sin((k+1)x).

Nous en déduisons que la formule est vraie au rang k+1.

D'après le principe de récurrence, il s'ensuit que la formule est vraie pour tous les entiers naturels non nuls.

Lorsque n=0, la formule est vraie puisque \cos (0x) + \mathrm i\sin (0x) = 1 + \mathrm i0 = 1, et par convention z^0 = 1.

Lorsque n<0, nous considérons un entier naturel strictement positif m tel que n=-m. Ainsi


\begin{alignat}{2}
     \left(\cos x + i\sin x\right)^{n} & = \left(\cos x + \mathrm i\sin x\right)^{-m}\\
                                       & = \frac{1}{\left(\cos x + \mathrm i\sin x\right)^{m}}\\
                                       & = \frac{1}{\left(\cos mx + \mathrm i\sin mx\right)}\\
                                       & = \cos\left(mx\right) - \mathrm i\sin\left(mx\right)\\
                                       & = \cos\left(-mx\right) + \mathrm i\sin\left(-mx\right)\\
                                       & = \cos\left(nx\right) + \mathrm i\sin\left(nx\right).
\end{alignat}

Ainsi le théorème est vrai pour tous les entiers relatifs n c.q.f.d..

Utilisations de la formule de De Moivre[modifier | modifier le code]

Cette formule est utilisée pour rechercher les puissances n-ièmes de nombres complexes sous forme trigonométrique :

z^n= r^n(\cos(nx)+ \mathrm i \sin(nx)\,)

ainsi que pour obtenir les formes de cos(nx) et sin(nx) en fonction de sin(x) et cos(x).

Par exemple, pour avoir cos(2x) et sin(2x), on égale :

(\cos(x)+\mathrm i\sin(x))^2 = \cos(2x)+\mathrm i \sin(2x)\

On a

\cos^2(x)+2\cos(x)\sin(x)\mathrm i-\sin^2(x)\,=\cos(2x)+\mathrm i \sin(2x)\,

On identifie les parties réelles et imaginaires :

\cos(2x)=\cos^2(x)-\sin^2(x)\, et
\sin(2x)=2\cos(x)\sin(x)\,

On obtient les formules trigonométriques de duplication.


Polynômes de Tchebychev[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Polynôme de Tchebychev.

La formule de De Moivre donne :

\cos(nx)+\mathrm i\sin(nx)={\left(\cos x+\mathrm i\sin x\right)}^n=\sum_{p=0}^n {n \choose p}\cos^{n-p} (x)\mathrm i^{p}\sin^{p}( x).

En prenant la partie réelle et en posant p=2k, il vient :

\cos(nx)=T_n(\cos x)

où Tn est un polynôme de degré n, appelé polynôme de Tchebychev.

T_n(X)=\sum_{0\leq 2k\leq n} {n \choose 2k}(-1)^kX^{n-2k}(1-X^2)^k.

Références[modifier | modifier le code]

  1. Leonhard Euler, Introductio in analysin infinitorum, volume 1, chap. 8 ,De quantitatibus transcendentibus ex circulo ortis, paragraphe 133
  2. énoncée plus que démontrée selon Flament 2003, p. 61
  3. Schneider 1968, p. 250
  4. Dès 1707, dans Philosophical transactions, n°309, art. 3 , Résolution analytique de quelques équations de la 3e, 5e, 7e puissance et des puissances supérieures lire en ligne, puis en 1730 dans Miscellanea Analytica, Londres, p 1-2 lire en ligne et en 1738 dans Philosophical transactions, 1738, n°451, problème III lire en ligne

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • Dominique Flament, Histoire des nombres complexes : Entra algèbre et géométrie, CNRS Édition,‎ 2003
  • David E. Smith, A source book in mathématics, vol. 3, Courier Dover Publication,‎ 1959
  • Ivo Schneider, « Der Mathematiker Abraham de Moivre (1667 - 1754) », Archive for History of Exact Sciences,‎ 31 décembre 1968, p. 177-317


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