Formule de Moivre

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Abraham de Moivre a donné son nom à la formule.

La formule de Moivre[N 1] affirme, pour tout nombre réel x et pour tout entier relatif n :

\left(\cos x+\mathrm i\sin x\right)^n=\cos(nx)+\mathrm i\sin(nx)\quad (1)

Le nombre i désigne l'unité imaginaire, c'est-à-dire le choix d'une racine carrée de – 1. Elle porte le nom du mathématicien français Abraham de Moivre, qui a utilisé une formule relativement proche dans ses écrits.

Cette formule met en relation les nombres complexes et les fonctions trigonométriques « cosinus » et « sinus ». Parfois la formule est réécrite en remplaçant « cos x + i sin x » par « exp( i x ) ». C'est la formule d'Euler. En élevant les deux membres de cette formule à la puissance n, on démontre directement la formule de Moivre. C'est donc une démonstration qui est beaucoup plus simple que la démonstration par récurrence donnée ci-dessous.

Interprétation géométrique[modifier | modifier le code]

Représentation graphique de z dans le plan complexe, coordonnées cartésiennes et polaires.

Pour x réel, l'égalité « cos2x + sin2x = 1 » entraîne que le nombre complexe « z = cos x + i sin x » est de module égal à 1. Dans le plan d'Argand, les nombres complexes de module 1 forment le cercle C de centre O et de rayon 1 (le cercle unité). En particulier, le point M d'affixe z appartient à C. Si I est le point d'affixe 1, l'angle (OI, OM) mesure x radians. La formule de Moivre affirme que zn est l'affixe du point N de C tel que l'angle orienté (OI, ON) mesure nx radians.

La formule de Moivre s'appuie sur un résultat plus général concernant l'interprétation géométrique du produit de nombres complexes : si z et w sont deux nombres complexes de module 1, on place les points M et N d'affixes respectives z et w, et on obtient zw comme l'affixe du point P de C tel que (OI, OP) = (OI, OM) + (OI, ON). On dispose alors de la formule générale :

\left(\cos x+\mathrm i\sin x\right)\left(\cos y+\mathrm i \sin y\right)=\left(\cos(x+y)+\mathrm i\sin(x+y)\right)\quad (2)

Historique[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Histoire des nombres complexes.
Timbre à l'effigie de Euler.

La forme courante de la formule apparaît dans l'Introduction à l'analyse infinitésimale[1] d'Euler qui la démontre[2], pour tout entier naturel n, en 1748. Mais elle apparait de manière implicite[3] chez Abraham de Moivre à plusieurs reprises à partir de 1707[4], dans ses travaux sur les racines nièmes de nombres complexes. Les deux problèmes sont effectivement liés : écrire que (cos x + i sin x)n = cos( nx ) + i sin( nx ) est équivalent à dire que « cos x + i sin x » est une des racines nièmes du complexe « cos( nx ) + i sin( nx ) ».

Démonstration...[modifier | modifier le code]

De la formule (2)[modifier | modifier le code]

Pour tous x et y réels, on a :

\left(\cos x+\mathrm i\sin x\right)\left(\cos y+\mathrm i\sin y\right)=\left(\cos x\cos y-\sin x\sin y\right)+\mathrm i\left(\sin x\cos y+\cos x\sin y\right)

Or,

\cos(x+y)=\left(\cos x\cos y-\sin x\sin y\right) et \sin(x+y)=\left(\sin x\cos y+\cos x\sin y\right)

Donc,

\left(\cos x+\mathrm i\sin x\right)\left(\cos y+\mathrm i\sin y\right)=\cos(x+y)+\mathrm i\sin(x+y)

La formule (2) est donc établie.

De la formule (1)[modifier | modifier le code]

On démontre (1) dans un premier temps pour n > 0 par récurrence sur n.

– Pour n = 1, la formule est vraie.

– Supposons la formule vraie pour un entier k non nul. Alors,

\left(\cos x+\mathrm i\sin x\right)^k=\cos(kx)+\mathrm i\sin(kx)

Ce qui donne :


\begin{alignat}{2}
    \left(\cos x+\mathrm i\sin x\right)^{k+1} & = \left(\cos x+\mathrm i\sin x\right)^{k} \left(\cos x+\mathrm i\sin x\right)\\
                                      & = \left[\cos\left(kx\right) + \mathrm i\sin\left(kx\right)\right] \left(\cos x+\mathrm i\sin x\right) 
 \end{alignat}

Par la formule (2), il vient :

\left(\cos x+\mathrm i\sin x\right)^{k+1}=\cos((k+1)x)+\mathrm i\sin((k+1)x)

Nous en déduisons que la formule est vraie au rang k + 1.

D'après le principe de récurrence, il s'ensuit que la formule est vraie pour tous les entiers naturels non nuls.

Lorsque n = 0, la formule est vraie puisque cos( 0 x ) + i sin( 0 x ) = 1 + i . 0 = 1, et par convention z0 = 1.

Lorsque n < 0, nous considérons un entier naturel strictement positif m tel que n = – m. Ainsi


\begin{alignat}{2}
     \left(\cos x + i\sin x\right)^{n} & = \left(\cos x + \mathrm i\sin x\right)^{-m}\\
                                       & = \frac{1}{\left(\cos x + \mathrm i\sin x\right)^{m}}\\
                                       & = \frac{1}{\left(\cos mx + \mathrm i\sin mx\right)}\\
                                       & = \cos\left(mx\right) - \mathrm i\sin\left(mx\right)\\
                                       & = \cos\left(-mx\right) + \mathrm i\sin\left(-mx\right)\\
                                       & = \cos\left(nx\right) + \mathrm i\sin\left(nx\right).
\end{alignat}

Ainsi le théorème est vrai pour tous les entiers relatifs n, c.q.f.d..

Utilisations de la formule de Moivre[modifier | modifier le code]

Cette formule est utilisée pour rechercher les puissances nièmes de nombres complexes sous forme trigonométrique :

z^n= r^n(\cos(nx)+ \mathrm i \sin(nx)\,)

ainsi que pour obtenir les formes de cos( nx ) et sin( nx ) en fonction de sin( x ) et cos( x ).

Par exemple, pour avoir cos( 2x ) et sin( 2x ), on égale :

(\cos(x)+\mathrm i\sin(x))^2 = \cos(2x)+\mathrm i \sin(2x)\

On a :

\cos^2(x)+2\cos(x)\sin(x)\mathrm i-\sin^2(x)\,=\cos(2x)+\mathrm i \sin(2x)\,

On identifie les parties réelles et imaginaires, pour obtenir les deux égalités suivantes :

\cos(2x)=\cos^2(x)-\sin^2(x)\,
\sin(2x)=2\cos(x)\sin(x)\,

On dispose ainsi des formules trigonométriques de duplication.

Polynômes de Tchebychev[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Polynôme de Tchebychev.

La formule de Moivre donne :

\cos(nx)+\mathrm i\sin(nx)={\left(\cos x+\mathrm i\sin x\right)}^n=\sum_{p=0}^n {n \choose p}\cos^{n-p} (x)\mathrm i^{p}\sin^{p}( x)

En prenant la partie réelle et en posant p = 2k, il vient :

\cos(nx)=T_n(\cos x)

où Tn est un polynôme de degré n, appelé polynôme de Tchebychev.

T_n(X)=\sum_{0\leq 2k\leq n} {n \choose 2k}(-1)^kX^{n-2k}(1-X^2)^k

Notes et références[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

  1. Elle est parfois appelée « formule de de Moivre » pour se rapprocher de l'anglais Formula of De Moivre ou du consacré De Moivre's formula. En revanche, l'usage nettement prépondérant en France et dans les pays francophones, notamment dans l'enseignement, est « la formule de Moivre » car aucune contrainte typographique n'impose de faire figurer la particule « devant les noms d’une syllabe, les noms de deux syllabes avec finale muette et les noms commençant par une voyelle ou un h muet », comme le rappellent les recommandations des conventions typographiques dérivées du LRTUIN à sa p. 137 ; un extrait de celles-ci figure en page de discussion du présent article.

Références[modifier | modifier le code]

  1. Leonhard Euler, Introductio in analysin infinitorum, volume 1, chap. 8 ,De quantitatibus transcendentibus ex circulo ortis, paragraphe 133
  2. énoncée plus que démontrée selon Flament 2003, p. 61
  3. Schneider 1968, p. 250
  4. Dès 1707, dans Philosophical transactions, n°309, art. 3 , Résolution analytique de quelques équations de la 3e, 5e, 7e puissance et des puissances supérieures lire en ligne, puis en 1730 dans Miscellanea Analytica, Londres, p 1-2 lire en ligne et en 1738 dans Philosophical transactions, 1738, n°451, problème III lire en ligne

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • Dominique Flament, Histoire des nombres complexes : Entre algèbre et géométrie, CNRS Édition,‎
  • David E. Smith, A source book in mathematics, vol. 3, Courier Dover Publication,‎
  • Ivo Schneider, « Der Mathematiker Abraham de Moivre (1667 - 1754) », Archive for History of Exact Sciences,‎ , p. 177-317

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