Point isolé

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0 est un point isolé de A

En topologie, un point x d'un espace topologique E est dit isolé si, intuitivement, il y a discontinuité en x (de tout côté) ; s'il n'a pas de voisin "collé" à lui. Techniquement, x est isolé si le singleton {x} est un ensemble ouvert.

Formulations équivalentes :

En particulier si E est un espace métrique (par exemple une partie d'un espace euclidien), x est un point isolé de E s'il existe une boule ouverte centrée en x qui ne contient pas d'autre point de E.

Un espace topologique dans lequel tout point est isolé est dit discret.

Exemples[modifier | modifier le code]

On peut choisir comme espace E diverses parties (munies de la topologie induite) de l'ensemble des réels muni de sa topologie usuelle :

  • dans {0}∪[1, 2], seul 0 est isolé ;
  • dans {0}∪{1, 1/2, 1/3, … }, seul 0 est non isolé ;
  • l'ensemble ℕ = {0, 1, 2, … } des entiers naturels est un ensemble discret.

Note[modifier | modifier le code]

  1. Certains auteurs emploient l'expression « point limite », pour réserver celle de « point d'accumulation » à une propriété plus forte : voir l'article Point adhérent.

Articles connexes[modifier | modifier le code]