Lemme de Schwarz

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Page d'aide sur l'homonymie Ne doit pas être confondu avec Théorème de Schwarz.

Le lemme de Schwarz est un lemme d'analyse complexe.

Lemme — Soit f une fonction holomorphe dans le disque ouvert D de centre 0 et de rayon 1, et telle que :

  • f(0) = 0~
  • \forall z \in D, ~ |f(z)| \leqslant 1

Alors on a :

 \qquad |f(z)| \leqslant |z| pour tout z appartenant à D et \qquad |f'(0)| \leqslant 1 .

Si, de plus, il existe un élément non nul z_0 de D vérifiant  |f(z_0)| = |z_0| , ou bien si |f'(0)|=1, alors il existe un nombre complexe a de module 1 tel que f(z) = az pour tout z appartenant à D.

Le lemme de Schwarz est utilisé notamment pour déterminer les automorphismes du disque D dans lui-même.