Intégrale curviligne

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En mathématiques, l'intégrale curviligne est une intégrale où la fonction à intégrer est évaluée sur une courbe.

Line-Integral.gif

Analyse complexe[modifier | modifier le code]

L'intégrale curviligne est un des outils de base de l'analyse complexe. Si U est un intervalle ouvert du plan complexe, f une fonction continue de U dans C et γ un arc paramétré continûment dérivable tracé de [a,b] dans U on définit l'intégrale de f le long de γ en écrivant une intégrale de variable réelle

\int_\gamma f(z)\,\mathrm{d}z = \int_a^b f(\gamma(t))\,\gamma\,'(t)\,\mathrm{d}t.\,\!

Lorsque γ est une courbe fermée (ses deux extrémités coïncident) il arrive qu'on utilise la notation suivante

\oint_\gamma f(z)\,\mathrm{d}z

Exemple[modifier | modifier le code]

Soit la fonction f(z)=1/z, et soit C le cercle unité parcouru une fois dans le sens trigonométrique, ce qui peut se paramétrer par eit, avec t parcourant [0, 2π]. L'intégrale correspondante est

\oint_C f(z)\,\mathrm{d}z = \int_0^{2\pi} {1\over e^{it}} ie^{it}\,\mathrm{d}t = i\int_0^{2\pi} e^{-it}e^{it}\,\mathrm{d}t\,\!
=i\int_0^{2\pi}\,\mathrm{d}t = i(2\pi-0)=2\pi i \,\!

Extension aux arcs rectifiables[modifier | modifier le code]

Plus généralement, si γ est un arc rectifiable, on peut définir l'intégrale curviligne

\int_\gamma f(z)\,dz

en introduisant une subdivision de segment [a,b] de la forme a = t0 < t1 < ... < tn = b et en cherchant la limite des expressions de la forme

\sum_{1 \le k \le n} f(\gamma(t_k)) ( \gamma(t_k) - \gamma(t_{k-1}) ).

lorsque la subdivision a ses longueurs qui tendent vers 0.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Les propriétés fondamentales des intégrales curvilignes sont le théorème intégral de Cauchy et la formule intégrale de Cauchy, qui permettent d'établir le théorème des résidus.

Analyse vectorielle[modifier | modifier le code]

Intégrale curviligne pour un champ scalaire

Pour un champ scalaire f:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}, l'intégrale curviligne le long de la courbe \Gamma, paramétrée par r(t) avec t \in [a,b] est définie par :

\int_\Gamma f\ \mathrm{d}s = \int_a^b f(\mathbf{r}(t))  \|\mathbf{r}'(t)\| \mathrm{d}t.

De plus la longueur L de l'arc \Gamma est donnée par:

L = \int_\Gamma \ \mathrm{d}s.
Intégrale curviligne pour un champ vectoriel

De même pour un champ vectoriel \mathbf{F} : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n la circulation le long de la courbe \Gamma, paramétrée par r(t) avec t \in [a,b] est définie par :

\int_\Gamma \mathbf{F}\cdot\,\mathrm{d}\mathbf{x} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,\mathrm{d}t.

Voir aussi[modifier | modifier le code]