Théorèmes de Picard

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En analyse complexe, les théorèmes de Picard, du mathématicien Émile Picard, sont au nombre de deux :

Le petit théorème de Picard dit qu'une fonction entière non constante prend tout nombre complexe comme valeur, sauf peut-être un.

Le grand théorème de Picard dit qu'une fonction holomorphe ayant une singularité essentielle prend, sur tout voisinage de cette singularité, tout nombre complexe une infinité de fois comme valeur, sauf peut-être un.

Remarques[modifier | modifier le code]

  • Le « sauf peut-être un » dans ces énoncés est nécessaire, comme le montrent les exemples suivants. La fonction entière z\mapsto e^z ne s'annule pas. Elle possède même une singularité essentielle en l'infini (c'est une fonction transcendante). La fonction z\mapsto e^{1/z} est un exemple de fonction ne s'annulant pas avec singularité essentielle bornée (se trouvant en 0).
  • Le cas des fonctions polynomiales est une conséquence directe du théorème de d'Alembert-Gauss.
  • Le petit théorème se déduit immédiatement du grand, car toute fonction entière est soit polynôme soit elle possède une singularité essentielle à l'infini.
  • Le grand théorème de Picard généralise le théorème de Weierstrass-Casorati.
  • Une récente conjecture de B. Elsner[1] est liée au grand théorème de Picard : soient D-\{0\} le disque unité épointé et U_1,U_2, . . . ,U_n un recouvrement de D-\{0\} par des ouverts connexes. Sur chaque ouvert U_j, soit f_j une fonction holomorphe injective telle que df_j = df_k sur toutes les intersections U_j \cap U_k . Alors ces différentielles se recollent en une 1-forme méromorphe sur le disque D. (Si le résidu est nul, la conjecture découle du grand théorème de Picard.)

Note[modifier | modifier le code]

  1. p. 330 de (en) B. Elsner, « Hyperelliptic action integral », Annales de l'Institut Fourier, vol. 49, no 1,‎ 1999, p. 303-331 (lire en ligne [PDF])