Filtre (mathématiques)

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En mathématiques, et plus particulièrement en topologie générale, un filtre est une structure définie sur un ensemble, et permettant d'étendre la notion de limite aux situations les plus générales.

La théorie des filtres a été inventée, en 1937, par Henri Cartan[1],[2] et utilisée par Nicolas Bourbaki dans le Livre III : Topologie générale de ses Éléments de mathématique.

Les filtres ont permis en particulier la démonstration du théorème de Tychonov ; le cas particulier important des ultrafiltres joue un rôle fondamental dans la construction de prolongements d'objets classiques tels que les réels (donnant naissance aux hyperréels), ou les espaces localement compacts (permettant une construction du compactifié de Stone–Čech).

Avant propos[modifier | modifier le code]

En mathématiques, la notion de limite est au cœur de nombreux phénomènes et donne lieu à une théorie appelée topologie. Quand on écrit \lim_{n \to +\infty}x_n = L, distinguons deux phénomènes. Le lieu où on calcule la limite, ici, +∞, et la limite elle-même, ici L. Souvent, on traite les deux problèmes de façon symétrique, en utilisant les voisinages. La définition la plus générale possible se fait dans un espace topologique. On peut en donner une version simplifiée dans un espace métrique.

Toutefois, le concept de voisinage se révèle assez vite insuffisant en analyse, même à un niveau très élémentaire. Comment conceptualiser les limites à droite et à gauche par exemple ? On se rend compte sur cet exemple que ce n'est pas tant la limite elle-même que le lieu où on la calcule qui pose problème. Une façon élégante de s'en sortir est d'utiliser un filtre (ou une base de filtre, ce qui est équivalent mais un peu plus souple). La notion de filtre est très générale, elle unifie tous les différents types de limite que l'on rencontre.

Une alternative aux filtres consiste à généraliser le concept de limite d'une suite en utilisant un ensemble ordonné filtrant. Cette alternative (connue sous le nom de convergence des suites généralisées ou suites de Moore-Smith[3]) est désormais obsolète et inutile en analyse. Toutefois, on l'utilise dans d'autres domaines. En algèbre, par exemple, elle permet de définir les limites inductives et les limites projectives.

L'intérêt des filtres est de définir la convergence sans avoir besoin de suite ou de fonction.

Définition[modifier | modifier le code]

Soit E un ensemble, on appelle filtre sur E toute partie ℱ de P(E) (ensemble des parties de E) telle que[4] :

  1. ℱ est non vide ;
  2. l'ensemble vide n'appartient pas à ℱ ;
  3. toute partie de E qui inclut un élément de ℱ est elle-même un élément de ℱ ;
  4. l'intersection de deux parties de E qui sont dans ℱ est aussi dans ℱ.

Interprétation[modifier | modifier le code]

Un filtre peut représenter une convergence quelque part dans E. Cette convergence se fait par intersections : pour (A,B)∈F², A ∩ B ∈ F donc A ∩ B ≠ ∅. On peut intersecter comme ceci un nombre fini quelconque d'éléments de F, construisant un élément toujours plus petit, avec l'assurance qu'on ne tombera jamais sur le vide.

On peut être tenté d'appeler limite du filtre F l'intersection ∩F ⊂ E. Cependant cette intersection peut être vide, comme par exemple pour F_1=\{A\subset\mathbb{R}\; / \;\exists \varepsilon >0, ]-\varepsilon;0[\cup ]0;\varepsilon[ \subset A\}. Ce filtre F1 est celui de la convergence dans R vers 0, sans jamais toucher 0, c'est-à-dire la convergence servant à définir les fonctions dérivées :  f'(x) = \lim_{h\to 0,\; h\neq 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} .

La limite d'un filtre F est donc plus subtile que l'intersection ∩F ; elle porte une notion de trajectoire, de façon de tendre vers la valeur limite. Dans le cas de F1 c'était la contrainte de ne pas toucher le point 0. Dans le cas de F_2 = \{A\subset\mathbb{R}\; / \;\exists \varepsilon >0, [0;\varepsilon[ \subset A\}, c'est la convergence vers 0 par la droite.

Le troisième axiome de filtre est une espèce de quotient par une relation d'équivalence. On aurait pu s'en passer, et à la place décréter que deux filtres sont équivalents s'ils diffèrent par l'ajout de grosses parties. Pour l'étude des convergences, les grosses parties des filtres ne nous intéressent pas, c'est quand deux filtres diffèrent par les petites parties qu'ils ne convergent pas de la même façon. Par exemple F2 contient le filtre F_3 = \{A\subset\mathbb{R}\; / \;\exists \varepsilon >0, ]-\varepsilon;\varepsilon[ \subset A\}, de la convergence usuelle vers 0. On dit que F2 est plus fin que F3, il converge de façon plus précise.

La convergence la plus fine vers 0 est bien sûr l'égalité à 0, représentée par le filtre F_4 = \{A\subset\mathbb{R}\; / \; 0\in A\}. Ce filtre est maximal pour l'inclusion, pour cette raison on l'appelle ultrafiltre.

Le treillis des parties de l'ensemble {1, 2, 3, 4} avec, en vert, le filtre principal ℱ1.

Exemples[modifier | modifier le code]

  • Soit E un ensemble non vide et x un élément de E. L'ensemble \mathcal F_x=\{A\in P(E)\mid x\in A\} est un filtre, qu'on dit être un filtre principal.
  • Soit E un espace topologique et x un élément de E. L'ensemble \mathcal V(x) de tous les voisinages de x est un filtre sur E appelé filtre des voisinages de x.

Dans le cas particulier où la topologie de E est discrète, on retombe sur un filtre principal puisque pour la topologie discrète, une partie de E est un voisinage de x si et seulement si elle contient x.

Bases de filtre[modifier | modifier le code]

Soit E un ensemble. Une partie ℬ de P(E) est une base de filtre si l'ensemble ℱ = \{A\in P(E)\mid A \mbox{ contient un ensemble de } \mathcal B\} est un filtre. On dit alors que ℬ est une base du filtre ℱ ou encore que ℱ est le filtre engendré par ℬ.

Pour que ℬ soit une base de filtre, il faut et il suffit que les trois conditions suivantes soient réalisées[5] :

  • ℬ est non vide,
  • ℬ ne contient pas l'ensemble vide,
  • L'intersection de deux ensembles de ℬ inclut un ensemble de ℬ.

Noter qu'une base de filtre ℬ, collection d'ensembles quelconques satisfaisant aux trois conditions ci-dessus, est ainsi définie indépendamment de tout filtre particulier, et même de tout ensemble englobant E. Pour tout ensemble E surensemble de tous les éléments de ℬ, il existe un filtre ℱ et un seul sur E dont ℬ est base.

Remarque[5],[6] : étant donné un filtre ℱ, un sous-ensemble ℬ de ℱ en est une base si et seulement si tout élément de ℱ contient un élément de ℬ.

Une prébase de filtre sur E est un ensemble non vide de parties de E dont toute intersection finie est non vide. Ces intersections finies forment alors une base du plus petit filtre contenant la prébase[7].

Exemples[modifier | modifier le code]

  • {{x}} est une base du filtre principal ℱx.
  • Soit E un espace topologique et x un élément de E. Une base de voisinages de x est une base du filtre des voisinages de x. On dit aussi système fondamental de voisinages.
  • \{[-r,r]\mid r>0\} est une base du filtre des voisinages de 0 dans ℝ ; \{]-r,r[\mid r>0\} en est une autre ; \{]-1/n,1/n[\mid n\in\N^*\} en est encore une autre (cette dernière a l'avantage d'être dénombrable).
  • Plus généralement, soit E un espace métrique et x un point de E, l'ensemble des boules ouvertes ou fermées) de centre x et de rayon r > 0 est une base du filtre des voisinages de x.
  • Dans ℝ, \{[-r,0[\cup ]0,r]\mid r>0\} est une base du filtre des voisinages épointés de 0, permettant de définir la limite épointée (ou limite par valeurs différentes) d'une fonction en 0.
  • Dans ℝ, \{]0,r]\mid r>0\} est une base du filtre des voisinages à droite de 0 (épointés), permettant de définir la limite à droite en 0 (ou limite par valeurs strictement supérieures).
  • Dans ℕ, \{[n,+\infty[\mid n\in \mathbb N \} est une base du filtre de Fréchet, permettant de définir la notion de limite d'une suite.
  • Dans ℝN, l'ensemble des complémentaires des boules de centre 0 est une base du filtre des parties de complémentaire borné. Il permet de définir la notion de limite à l'infini d'une fonction définie sur ℝN.

Finesse d'un filtre et ultrafiltres[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Ultrafiltre.

Soit E un ensemble, soit ℱ et ℱ ' deux filtres, on dit que ℱ ' est plus fin que ℱ si ℱ ⊂ ℱ '. On dit aussi que ℱ est plus grossier que ℱ '.

L'intersection de toute famille non vide de filtres est un filtre. C'est le plus fin des filtres plus grossiers que chaque filtre de cette famille[1].

La réunion de toute chaîne non vide de filtres est un filtre. C'est le plus grossier des filtres plus fins que chaque filtre de cette chaîne[1].

Étant donnés deux filtres ℱ1 et ℱ2, pour qu'il existe un filtre plus fin que ℱ1 et que ℱ2, il faut et il suffit que l'intersection d'un ensemble de ℱ1 et d'un ensemble de ℱ2 ne soit jamais vide[1].

Un ultrafiltre est un filtre maximal pour l'inclusion. En d'autres termes, ℱ est un ultrafiltre si et seulement si ℱ est le seul filtre plus fin que ℱ.

Les filtres principaux sont des ultrafiltres (souvent aussi appelés ultrafiltres triviaux).

Tout filtre est inclus dans un ultrafiltre ; autrement dit, pour tout filtre ℱ, il existe un ultrafiltre ℱ ' plus fin que ℱ. C'est une conséquence classique de l'axiome du choix ou de son équivalent le lemme de Zorn ; mais, réciproquement, l'axiome du choix s'avère nécessaire pour pouvoir construire des ultrafiltres non principaux (il y a des modèles de ZF dans lesquels il n'en existe pas sur les entiers, par exemple).

Filtre convergent, point adhérent à un filtre[modifier | modifier le code]

Soient E un espace topologique et x un élément de E. On dit que

  • un filtre sur E converge vers x s'il est plus fin que le filtre des voisinages de x.
  • une base de filtre sur E converge vers x si le filtre qu'elle engendre converge vers x.
  • x est adhérent à un filtre ℱ (sur E) si tout voisinage V de x et tout élément F de ℱ se rencontrent. Autrement dit il existe un filtre ℱ ' qui contient à la fois ℱ et \mathcal V(x) ou encore il existe un filtre ℱ ' plus fin que ℱ qui converge vers x.

L'ensemble des points adhérents à un filtre ℱ est un fermé : c'est \cap _{F\in \mathcal F}\overline F.

Si un filtre ℱ converge vers x alors x est adhérent à ℱ. La réciproque est vraie si ℱ est un ultrafiltre.

Si E est un espace séparé et que ℱ converge à la fois vers x et vers y alors x = y.

Filtre image, limite d'une fonction[modifier | modifier le code]

Soit E et F deux ensembles, f une fonction de E dans F et ℱ un filtre sur E. Le filtre image de ℱ par f est par définition l'ensemble des parties de F dont l'image réciproque par f appartient au filtre ℱ. Une base de ce filtre est l'ensemble f(ℱ) des images directes des éléments de ℱ.

Lorsque F est un espace topologique et y un élément de F, on dit que f converge vers y suivant ℱ si f(ℱ) converge vers y.

On peut également de définir les notions de limites inférieure et supérieure, suivant un filtre, d'une fonction à valeurs dans .

Compacité[modifier | modifier le code]

Les filtres permettent une caractérisation simple des espaces topologiques compacts.

Théorème : Un espace topologique séparé E est compact si et seulement si tout filtre de E admet un point adhérent, ou encore si et seulement si tout ultrafiltre de E converge.

Cette caractérisation qui généralise le théorème de Bolzano-Weierstrass permet de démontrer élégamment le théorème de Tychonov[8].

Filtre de Cauchy[modifier | modifier le code]

Espace métrique[modifier | modifier le code]

Dans un espace métrique, une suite est dite de Cauchy si pour tout réel r strictement positif, il existe un rang à partir duquel les termes de la suite sont tous distants les uns des autres de moins de r.

Cette notion se généralise aux filtres en définissant : dans un espace métrique, un filtre est de Cauchy si pour tout réel strictement positif, il existe un élément du filtre de diamètre inférieur ou égal à ce réel.

On vérifie qu'une suite est de Cauchy si et seulement si le filtre associé (le filtre image par la suite du filtre de Fréchet sur ℕ) est lui aussi de Cauchy.

Un espace métrique est dit complet si toute suite de Cauchy y converge. On montre que cela équivaut à dire que tout filtre de Cauchy y converge.

Par contre, dans un espace métrique quelconque, un filtre convergent, tout comme une suite convergente, est toujours de Cauchy.

Espace uniforme[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Espace uniforme.

Dans un espace uniforme, une suite de Cauchy est définie par le fait que pour tout entourage, il existe un rang à partir duquel tous les couples de termes de la suite appartiennent à l'entourage. Un filtre de Cauchy est défini par le fait que pour tout entourage, il existe un élément du filtre dont le carré cartésien est sous-ensemble de cet entourage.

Si l'espace uniforme est associé à un espace métrique, ces deux définitions équivalent aux définitions correspondantes données ci-dessus pour les espaces métriques.

Dans un espace uniforme, la notion de complétude ne peut plus être définie de façon indifférente par la convergence des filtres de Cauchy ou des suites de Cauchy. Il existe ainsi dans un espace uniforme deux notions de complétude : on dit que l'espace uniforme est

  • complet si tout filtre de Cauchy y converge,
  • séquentiellement complet si toute suite de Cauchy y converge.

La complétude tout court entraîne la complétude séquentielle ; la réciproque est vraie si l'espace uniforme peut être associé à une métrique, mais pas en général.

Dans un espace uniforme, comme dans un espace métrique, les suites et les filtres convergents sont toujours de Cauchy.

Notes[modifier | modifier le code]

  1. a, b, c et d Cartan 1937a.
  2. Cartan 1937b.
  3. Raymond Mortini, Topologie (ps) (On y trouve une étude de la relation entre filtres et suites généralisées.)
  4. Bourbaki, chap. I, § 6, p. 36.
  5. a et b Bourbaki, chap. I, § 6, p. 38.
  6. C'est cette caractérisation qui est choisie comme définition d'une base de filtre dans Wagschal 1995, p. 76.
  7. (en) M. G. Murdeshwar, General Topology, New Age International,‎ 1990, 2e éd. (ISBN 978-8-12240246-9, lire en ligne), p. 95.
  8. O. Brinon, Le théorème de Tychonoff.
  9. Bourbaki, p. I.59 et Wagschal 1995, p. 167-168 prennent la caractérisation par les filtres comme définition de la compacité, mais démontrent aussitôt l'équivalence avec la propriété de Borel-Lebesgue. La preuve présentée ici est essentiellement la même.

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Article connexe[modifier | modifier le code]

Idéal (théorie des ordres)

Liens externes[modifier | modifier le code]