Discussion:Espace complet

Fractions continues

les fractions continues sont aussi applicables dans plusieures domaines, par exemple les fractions continues sont géniralisée sur les algèbre de Banach et je veux s'avoir à quel point les recherches sont atteints. merci — Le message qui précède, non signé, a été déposé par un utilisateur sous l’IP 194.204.231.101 (discuter), le 14/3/2005.

Complété d'un espace métrique

Je pense qu'il y a une erreur, en effet on ne peut pas dire que (x_n) et (y_n) converge donc sont bornées car M n'est pas encore complet, il n'y a donc aucune raison pour que ces deux suites de Cauchy convergent. — Le message qui précède, non signé, a été déposé par un utilisateur sous l’IP 152.77.18.70 (discuter), le 7/11/2005.

C'est effectivement une erreur. Je l'ai corrigée Theon 27 janvier 2006 à 19:14

Je pense qu'en réalité il y a confusion entre la création de la relation d'équivalence (qui ne nécessite pas la démonstration de l'existence d'une limite) et la définition d'une distance (qui elle n'existera que si les suites sont bien de Cauchy). Je modifie donc en conséquence l'article et le complète. HB 29 janvier 2006 à 17:23

Erreur

<<En fait tout espace métrique est compact si et seulement s’il est complet et borné.>>

Non: considérer la boule unité fermée d'un espace vectoriel normé complet de dimension infinie. — Le message qui précède, non signé, a été déposé par un utilisateur sous l’IP 83.115.63.213 (discuter), le 16/11/2005.

C'est effectivement une belle erreur ! Corrigée. Vianney 20 janvier 2006

Quand on dit qu'un espace vectoriel de dimension finie est complet, ne faut-il pas s'intéresser à la complétude du corps des scalaires pour pouvoir l'affirmer? — Le message qui précède, non signé, a été déposé par un utilisateur sous l’IP 84.102.78.4 (discuter), le 2/12/2007.

Je pense qu'en effet la complétude du corps de base joue un rôle. Que penser de $\mathbb {Q}$ en tant que $\mathbb {Q}$_espace vectoriel (de dimension 1) ? Mitsuhirato39 (d) 11/10/2008

Completion

Je proposerais bien la chose suivante (que je trouve plus élégante, mais je l'ai vue dans un cours et n'ai pas de sources pour justifier que ça a sa place) :

Pour tout espace métrique $M$, il est possible de construire un espace métrique complet $M'$ (également noté ${\tilde {M}}$ ou ${\hat {M}}$) qui contient un sous-espace dense isométrique à $M$. Il possède la propriété suivante : si $N$ est un espace métrique complet quelconque et $f$ est une fonction uniformément continue de $M$ vers $N$, alors il existe une unique fonction uniformément continue $f'$ de $M'$ vers $N$ telle que $f=f'i$. $M'$ est appelée complété de $M$. L'unicité à unique isomorphisme prèt est alors assuré.

Pour l'existence, on peut bien sûr considérer l'ensemble des classes d'équivalence de suites de Cauchy de $M$ pour la relation $(x_{n})_{n}\sim (y_{n})_{n}\Leftrightarrow d(x_{n},y_{n})\to 0$. Cette preuve est calquée sur l'une des constructions des nombres réels et on peut préférer réutiliser la complétude de $\mathbb {R}$ de la manière suivante : on fixe un point $m\in M$ (s'il était vide, ce serait trivial) et on considère l'application $\phi :M\to B(M,\mathbb {R} ),x\mapsto d(x,\cdot )-d(m,\cdot )$ qui est bien définie par inégalité triangulaire ($\|\phi (x)\|\leq d(x,m)$). De plus on a $\|\phi (x)-\phi (y)\|=\|d(x,\cdot )-d(m,\cdot )-d(y,\cdot )+d(m,\cdot )\|\leq d(x,y)$ et l'égalité est atteinte en x par exemple. Bref $\phi$ est une isométrie sur som image et on prend son adhérence dans $B(M,\mathbb {R} )$ pour espace $M'$. Celui-ci est fermé dans un complet donc complet. La propriété universelle est un cas particulier de prolongement d'application uniformément continue définie sur une partie dense (l'existence étant due à l'uniforme continuité et l'unicité à la densité).Alexandre alexandre (d) 15 juillet 2011

(les 17/2/2013 et 11/6/2014) Anne

Au sujet du dernier exemple

Si S est un ensemble donné, l'ensemble S^ℕ des suites de S devient un espace métrique complet si on définit la distance entre les suites $\scriptstyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ et $\scriptstyle (y_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ comme étant égale à 1/N, où N est le plus petit indice pour lequel $\scriptstyle x_{N}\neq y_{N}$, ou 0 si un tel indice n'existe pas.

Et si N = 0 ?

--Bledeau (discuter) 22 novembre 2016 à 08:33

J'ai remplacé $\mathbb {N}$ par $\mathbb {N} ^{*}$. Anne, 11 h 44