Espace complètement régulier

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En mathématiques, un espace complètement régulier (ou de Tikhonov) est un espace topologique vérifiant une propriété de séparation plus forte que la séparation usuelle et même que la propriété d'être régulier.

Définition[modifier | modifier le code]

Un espace topologique X vérifie la propriété de séparation T3 1/2 si pour tout point x de X et pour tout fermé F de X ne contenant pas x, il existe une application continue de X dans le segment [0, 1] valant 0 en x et 1 sur F (on dit alors que cette application sépare le point du fermé).

Un espace est complètement régulier s'il est séparé et vérifie T3 1/2. Il suffit pour cela qu'il vérifie T0 et T3 1/2.

Un espace vérifie donc T3 1/2 si et seulement si son quotient de Kolmogorov est complètement régulier.

Exemples[modifier | modifier le code]

Caractérisations[modifier | modifier le code]

Pour tout espace topologique X, les propriétés suivantes sont équivalentes :

  • X vérifie T3 1/2 ;
  • la topologie de X coïncide avec la topologie initiale associée à l'ensemble d'applications continues C(X, ℝ) ou au sous-ensemble Cb(X, ℝ) de celles qui sont bornées, ou même à C(X,[0, 1]) ;
  • X est uniformisable ;
  • tout fermé de X est une intersection de lieux d'annulation (en) de fonctions continues.

Un espace séparé X est complètement régulier si et seulement si X se plonge dans un espace compact, qui peut alors être choisi égal au cube de Tychonoff (en) [0, 1]C(X,[0, 1])[1] ; l'adhérence de X dans ce cube est alors le compactifié de Stone-Čech de X.

Propriétés de permanence[modifier | modifier le code]

La complète régularité est préservée par sous-espaces et par produits. Plus généralement, la propriété T3 1/2 est préservée par topologie initiale (mais pas la séparation).

Comme tous les axiomes de séparation, ces deux propriétés ne sont pas préservées par topologie finale : le quotient du plan de Moore obtenu en identifiant tous les points de ×{0} à l'un d'eux et tous ceux de (ℝ\ℚ)×{0} à l'un d'eux n'est même pas séparé[2].

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. François Guénard et Gilbert Lelièvre, Compléments d'analyse, Vol. 1 : Topologie, première partie, ENS Fontenay éd.,‎ 1985 (lire en ligne), p. 28.
  2. Willard 1970, p. 93, Example 14.5.

(de)/(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu des articles intitulés en allemand « Vollständig regulärer Raum » (voir la liste des auteurs) et en anglais « Tychonoff space » (voir la liste des auteurs), dont les références étaient :