Plongement

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Dans de nombreuses branches des mathématiques, on peut être amené à comparer deux « objets » entre eux en montrant que l'un des « objets » est un « sous-objet » de l'autre (parfois via une injection, remplaçant l'inclusion). Dans certaines théories, telles que la théorie des modèles ou des variétés différentielles, le terme plongement est complètement défini alors que dans d'autres il n'est que mentionné dans des contextes intuitifs et n'est donc pas pourvu d'un sens précis.

Espaces topologiques[modifier | modifier le code]

Une application XY entre deux espaces topologiques est un plongement de X dans Y si elle induit (par corestriction) un homéomorphisme de X sur son image.

Variétés différentielles[modifier | modifier le code]

Immersion de la bouteille de Klein dans un espace à trois dimensions. Il est impossible d'en réaliser un plongement.

En topologie différentielle et géométrie différentielle, soient V et W deux variétés de classe Ck (éventuellement k infini), et f: VW une fonction.

On dit que f est un plongement Ck si c'est un plongement au sens topologique et si, de plus, f est Ck et pour tout xV, l'application linéaire tangente Tf(x) est injective. Voir le chapitre 2 de [1]


Un plongement est alors un difféomorphisme Ck sur son image, laquelle image est une sous-variété différentielle de W (ce dernier résultat nécessite le théorème des fonctions implicites).

On le différencie de

  • l'immersion (le rang de Tf(x) est la dimension de V),
  • la submersion (le rang de Tf(x)' est la dimension de W).

Théorème de Whitney "facile" . Toute variété compacte de classe C^k\,(k\ge 1 ) et de dimension n admet un plongement dans  \mathbf{R}^{2n+1}.

Pour la preuve, voir par exemple le chapitre 3 de [2] ou [3]



Théorie des ensembles ordonnés[modifier | modifier le code]

Soient P et Q deux ordres. Alors f: PQ est un plongement d'ordre si et seulement si

  1. f est injective
  2. \forall p_1,p_2\in P: p_1\leq p_2\Leftrightarrow f(p_1)\leq f(p_2).

Théorie des modèles[modifier | modifier le code]

Contextes intuitifs[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. J. Lafontaine, Introduction aux variétés différentielles, 2e édition, Grenoble Sciences 2010
  2. J. Lafontaine, Introduction aux variétés différentielles, 2e édition, Grenoble Sciences 2010
  3. M. Hirsch, Differential Topology, Springer