Plongement

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Dans de nombreuses branches des mathématiques, on peut être amené à comparer deux « objets » entre eux en montrant que l'un des « objets » est un « sous-objet » de l'autre (parfois via une injection, remplaçant l'inclusion). Dans certaines théories, telles que la théorie des modèles ou des variétés différentielles, le terme plongement est complètement défini alors que dans d'autres il n'est que mentionné dans des contextes intuitifs et n'est donc pas pourvu d'un sens précis.

Espaces topologiques

Une application X → Y entre deux espaces topologiques est un plongement de X dans Y si elle induit (par corestriction) un homéomorphisme de X sur son image.

Variétés différentielles

Immersion de la bouteille de Klein dans un espace à trois dimensions. Il est impossible d'en réaliser un plongement.

En topologie différentielle et géométrie différentielle, soient V et W deux variétés de classe C^k (éventuellement k infini), et f: V→W une fonction.

On dit que f est un C^k-plongement si c'est un plongement au sens topologique et si, de plus, f est C^k et pour tout x∈V, l'application linéaire tangente Tf(x) est injective.

Un plongement est alors un C^k-difféomorphisme sur son image, laquelle image est une sous-variété différentielle de W (ce dernier résultat nécessite le théorème des fonctions implicites).

On le différencie de

• l'immersion (le rang de Tf(x) est la dimension de V),
• la submersion (le rang de Tf(x)' est la dimension de W).

Théorie des ensembles ordonnés

Soient P et Q deux ordres. Alors f: P→Q est un plongement d'ordre si et seulement si

1. f est injective
2. $\forall p_1,p_2\in P: p_1\leq p_2\Leftrightarrow f(p_1)\leq f(p_2)$.

Théorie des modèles

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Contextes intuitifs

• Dans la théorie des ensembles il peut remplacer l'inclusion (ou l'injection).
• Dans le cadre de la théorie des catégories, si l'on est dans une catégorie admettant des images et coimages, alors un plongement pourrait s'apparenter à un monomorphisme qui serait un isomorphisme sur l'image (ou la coimage est isomorphe à l'image).