Diophante d'Alexandrie

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Page couverture de l'édition de 1670 des Arithmetica, principal ouvrage de Diophante d'Alexandrie

Diophante d'Alexandrie (en grec ancien : Διόφαντος ὁ Ἀλεξανδρεύς Dióphantos ho Alexandreús) (né vers 200/214 et mort vers 284/298) était un mathématicien grec. Surtout connu pour son étude des équations diophantiennes, il est surnommé le « père de l'algèbre ».

Biographie[modifier | modifier le code]

Page 85 de l'édition de 1621 des Arithmétiques de Diophante

On connaît peu de choses de sa vie. Il vécut à Alexandrie. Son œuvre est en partie perdue.

Il est connu pour son étude des équations à variables rationnelles (∈ ℚ) et les équations diophantiennes furent nommées en son honneur. Son nom donne l'adjectif diophantien, souvent utilisé en théorie des nombres pour décrire un problème qui s'y rapporte.

Son ouvrage le plus important est son Arithmétique, qui influença les mathématiciens arabes et plus tard ceux de la Renaissance.

Diophante a aussi écrit un traité sur les nombres polygonaux, le plus ancien de cette science ; il ne nous en reste que 10 livres sur 13[1].

Diophante s'intéresse notamment aux problèmes suivants :

Page 61 de l'édition de 1670 des Arithmetica de Diophante. Elle contient, en caractères d'imprimerie, la note de Pierre de Fermat à propos de son grand théorème.
  • Résolution d'équations quadratiques (du type ax2 = bx + c) ;
  • détermination de valeurs faisant de 2 expressions linéaires des carrés (ex. : trouver x tel que 10x+9 et 5x+4 sont tous deux des carrés) ;
  • décomposition d'un nombre en somme de 2 carrés. Il semble que Diophante sache d'expérience que les entiers de la forme 4n+3 ne s'écrivent pas comme la somme de 2 carrés ;
  • partage d'un carré en 2 carrés : il explique notamment comment partager 16 en somme de 2 carrés : (16/5)2+(12/5)2. C'est en marge de ce problème que Fermat inscrit sur son exemplaire des Arithmetica sa fameuse note, selon laquelle il est impossible de partager un cube en 2 cubes, une puissance quatrième en 2 puissances quatrièmes, et plus généralement une puissance quelconque au-delà du carré, en 2 puissances du même exposant. Il faudra attendre 1995 pour avoir une démonstration de ce résultat par Andrew Wiles.

Son épitaphe[modifier | modifier le code]

Mais il est également connu pour son épitaphe : problème, attribué à Métrodore (vers 500), permettant de trouver l'âge de Diophante d'Alexandrie à sa mort. Ce problème partage la vie de Diophante en parties inégales représentées par des fractions et permet de calculer la durée de sa vie, soit 84 ans. Voici le problème en abrégé :
« L'enfance de Diophante occupa un sixième de toute sa vie. Le douzième fut pris par son adolescence. Après une nouvelle période équivalente au septième de sa vie, il se maria. Cinq ans plus tard, il eut un fils. La vie de ce fils fut exactement une demie de celle de son père. Diophante mourut quatre ans après la mort de son fils. »

Une version de ce problème a été composée en alexandrins[2] par H. Eutrope[3] :

Passant, sous ce tombeau repose Diophante.
Ces quelques vers tracés par une main savante
Vont te faire connaître à quel âge il est mort.
Des jours assez nombreux que lui compta le sort,
Le sixième marqua le temps de son enfance ;
Le douzième fut pris par son adolescence.
Des sept parts de sa vie, une encore s'écoula,
Puis s'étant marié, sa femme lui donna
Cinq ans après un fils qui, du destin sévère
Reçut de jours hélas ! deux fois moins que son père.
De quatre ans, dans les pleurs, celui-ci survécut.
Dis, si tu sais compter, à quel âge il mourut.

La réponse revient à résoudre l'équation suivante : x/6 + x/12 + x/7 + 5 + x/2 + 4 = x. On trouve x = 84 ans, âge auquel Diophante mourut.

Postérité[modifier | modifier le code]

Diophante est « redécouvert » en Europe occidentale par Regiomontanus en 1463, grâce à un manuscrit ramené à Rome après la prise de Constantinople en 1453. Regiomontanus affirmait avoir vu 13 livres mais, aujourd'hui, seuls 6 livres subsistent.

Les premières traductions de Diophante datent de la fin du XVIe siècle : Rafaele Bombelli le traduit en italien en 1572 dans son Algebra, Xylander en latin en 1575, puis Simon Stevin en français en 1585 (seulement les quatre premiers livres). Albert Girard en 1625 et 1634 publiera dans les œuvres mathématiques de Simon Stevin la traduction des cinquième et sixième livres suivant le même modèle que Simon Stevin.

Il est ensuite traduit en latin, et annoté en latin et en grec, par Claude-Gaspard Bachet en 1621, puis à nouveau annoté par Pierre de Fermat à Toulouse en 1670 (après sa mort). L'ayant étudié au cours de sa jeunesse, Descartes affirmera de lui dans ses Règles pour la direction de l'esprit, en 1628, qu'il fait voir dans ses œuvres, de même que Pappus d'Alexandrie, les « traces de cette vraie mathématique », fruits des « semences de vérité, déposées par la nature dans l'esprit humain », qui « avaient tant de force dans cette rude et simple antiquité »[4].

En 1935, l'Union astronomique internationale a donné le nom de Diophantus à un cratère lunaire.

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Voir aussi la bibliographie des Irem (France).

Notes et références[modifier | modifier le code]

  • Cet article comprend des extraits du Dictionnaire Bouillet. Il est possible de supprimer cette indication, si le texte reflète le savoir actuel sur ce thème, si les sources sont citées, s'il satisfait aux exigences linguistiques actuelles et s'il ne contient pas de propos qui vont à l'encontre des règles de neutralité de Wikipédia.
  1. Les quatre derniers ont été retrouvés en 1968 dans une bibliothèque à Meshed, une ville au nord-est de l'Iran L. Radford Diophante et l'algèbre pré-symbolique Bulletin AMQ 1991 lire
  2. Âge de Diophante sur mathematiquesfaciles.com
  3. Épitaphe de Diophante sur recreomath.qc.ca
  4. Règles pour la direction de l'esprit, IV, pp. 17 et 18 de l'édition des œuvres de Descartes dans la Pléiade.

Liens externes[modifier | modifier le code]

(en) John J. O’Connor et Edmund F. Robertson, « Diophantus of Alexandria », dans MacTutor History of Mathematics archive, université de St Andrews (lire en ligne).