Identité de Brahmagupta

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En mathématiques, l'identité de Brahmagupta est une formule utilisée pour la résolution d'équations diophantiennes. Elle est ancienne ; Diophante d'Alexandrie, un mathématicien grec vivant probablement au IIIe siècle, en établit un cas particulier pour l'étude d'un ancêtre du théorème des deux carrés de Fermat. Brahmagupta (598-668) l'établit dans toute sa généralité pour résoudre une question associée à l'équation de Pell-Fermat. L'école indienne élabora par la suite un algorithme appelé méthode chakravala, dont un ingrédient de base est l'identité de Brahmagupta.

Identités[modifier | modifier le code]

Une première forme, souvent appelée « identité de Diophante » (Arithmetica, Livre III, 19) dit que le produit de deux nombres, égaux chacun à une somme de deux carrés, est lui-même une somme de deux carrés. Précisément :

\forall a, b, c, d \in A\quad \left(a^2 + b^2\right)\left(c^2 + d^2\right) = \left(ac-bd\right)^2 + \left(ad+bc\right)^2.

Ici A désigne un anneau intègre. L'usage le plus fréquent est celui où A est égal aux nombres entiers, rationnels, réels ou complexes.

Sous sa forme générale, appelée « identité de Brahmagupta », elle exprime l'égalité suivante :

\forall a, b, c, d, n \in A \quad \left(a^2 - n\cdot b^2\right)\left(c^2 - n\cdot d^2\right) = \left(ac+n\cdot bd\right)^2 - n\cdot \left(ad+bc\right)^2.

L'identité de Diophante s'obtient en choisissant pour n la valeur –1.

Une autre forme équivalente est utilisée, obtenue en remplaçant b par son opposé :

\forall a, b, c, d \in A \quad \left(a^2 + b^2\right)\left(c^2 + d^2\right) = \left(ac+bd\right)^2 + \left(ad-bc\right)^2.

Pour le cas général, on obtient :

\forall a, b, c, d, n \in A \quad \left(a^2 - n\cdot b^2\right)\left(c^2 - n\cdot d^2\right) = \left(ac-n\cdot bd\right)^2 - n\cdot \left(ad-bc\right)^2.

Remarques[modifier | modifier le code]

  • On reconnaît là, avec z = a + ib et z' = c + id, la formule |z|×|z'|= |z×z'|.