Identité de Brahmagupta

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En mathématiques, l'identité de Brahmagupta est une formule utilisée pour la résolution d'équations diophantiennes. Elle est ancienne ; Diophante d'Alexandrie, un mathématicien grec vivant probablement au IIIe siècle, en établit un cas particulier pour l'étude d'un ancêtre du théorème des deux carrés de Fermat. Brahmagupta (598-668) l'établit dans toute sa généralité pour résoudre une question associée à l'équation de Pell-Fermat. L'école indienne élabora par la suite un algorithme appelé méthode chakravala, dont un ingrédient de base est l'identité de Brahmagupta.

Identités[modifier | modifier le code]

Une première forme, souvent appelée « identité de Diophante » (Arithmetica, Livre III, 19) dit que le produit de deux nombres, égaux chacun à une somme de deux carrés, est lui-même une somme de deux carrés. Précisément :

\forall a, b, c, d \in A\quad \left(a^2 + b^2\right)\left(c^2 + d^2\right) = \left(ac-bd\right)^2 + \left(ad+bc\right)^2

Ici A désigne un anneau intègre. L'usage le plus fréquent est celui où A est égal aux nombres entiers, rationnels, réels ou complexes.

Sous sa forme générale, appelée « identité de Brahmagupta », elle exprime l'égalité suivante :

\forall a, b, c, d, n \in A \quad \left(a^2 - n\cdot b^2\right)\left(c^2 - n\cdot d^2\right) = \left(ac+n\cdot bd\right)^2 - n\cdot \left(ad+bc\right)^2

L'identité de Diophante s'obtient en choisissant pour n la valeur –1.

Une autre forme équivalente est utilisée, obtenue en remplaçant b par son opposé :

\forall a, b, c, d \in A \quad \left(a^2 + b^2\right)\left(c^2 + d^2\right) = \left(ac+bd\right)^2 + \left(ad-bc\right)^2.

Pour le cas général, on obtient :

\forall a, b, c, d, n \in A \quad \left(a^2 - n\cdot b^2\right)\left(c^2 - n\cdot d^2\right) = \left(ac-n\cdot bd\right)^2 - n\cdot \left(ad-bc\right)^2.

Démonstrations[modifier | modifier le code]

On reconnait là, avec z = a + ib et z' = c + id : |z|×|z'|= |z×z'|.

L'identité se conserve dans n'importe quel anneau commutatif, mais est très utilisée pour les entiers.

L'identité des quatre carrés d'Euler peut être vue comme une généralisation, utilisant la norme des quaternions. Il existe une identité similaire en huit carrés dérivée des nombres de Cayley, mais elle n'est pas particulièrement intéressante pour les entiers parce que chaque entier positif est la somme de quatre carrés.