Identité de Brahmagupta

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En mathématiques, l'identité de Brahmagupta est une formule utilisée pour la résolution d'équations diophantiennes. Elle est ancienne ; Diophante d'Alexandrie, un mathématicien grec vivant probablement au IIIe siècle, en établit un cas particulier pour l'étude d'un ancêtre du théorème des deux carrés de Fermat. Brahmagupta (598-668) l'établit dans toute sa généralité pour résoudre une question associée à l'équation de Pell-Fermat. L'école indienne élabora par la suite un algorithme appelé méthode chakravala, dont un ingrédient de base est l'identité de Brahmagupta.

Identités[modifier | modifier le code]

Une première forme, souvent appelée « identité de Diophante » (Arithmetica, Livre III, 19) dit que le produit de deux nombres, égaux chacun à une somme de deux carrés, est lui-même une somme de deux carrés. Précisément :

\forall a,b,c,d\in A\quad(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2,

A désigne un anneau commutatif. L'usage le plus fréquent est celui où A est l'anneau des entiers relatifs ou le corps des rationnels, des réels ou des complexes.

Sous sa forme générale, l'identité de Brahmagupta est

(a^2-nb^2)(c^2-nd^2)=(ac+nbd)^2-n\left(ad+bc\right)^2.

L'identité de Diophante s'obtient en choisissant pour n la valeur –1 et une forme équivalente, en remplaçant b par son opposé, est

(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2.

La même transformation, pour la forme générale, donne

(a^2-nb^2)(c^2-nd^2)=(ac-nbd)^2-n(ad-bc)^2.

Remarques[modifier | modifier le code]

Article connexe[modifier | modifier le code]

Extension quadratique