Théorème des quatre carrés de Lagrange

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher
Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Théorèmes de Lagrange.

Le théorème des quatre carrés de Lagrange, également connu sous le nom de conjecture de Bachet, s'énonce de la façon suivante :

Tout entier positif peut s'exprimer comme la somme de quatre carrés.

Plus formellement, pour tout entier positif n, il existe des entiers positifs a, b, c, d tels que :

n = a2 + b2 + c2 + d2.

Il correspond à une équation diophantienne qui se résout avec les techniques de l'arithmétique modulaire. La démonstration du théorème repose (en partie) sur l'identité des quatre carrés d'Euler :

\begin{array}{rcl}
(x_1^2 + y_1^2 + z_1^2 + t_1^2)(x_2^2 + y_2^2 + z_2^2 + t_2^2)& = & (x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2 + t_1t_2)^2\\
 & &  \quad + (x_1y_2 - y_1x_2 + t_1z_2 - z_1t_2)^2 \\
 & &  \quad\quad + (x_1z_2 - z_1x_2 + y_1t_2 - t_1y_2)^2 \\
 & &  \quad\quad\quad + (x_1t_2 - t_1x_2 + z_1y_2 - y_1z_2)^2.
\end{array}

Histoire[modifier | modifier le code]

Ce théorème a été conjecturé par Claude-Gaspard Bachet de Méziriac en 1621, dans les notes accompagnant sa traduction en latin du Diophante.

Fermat affirma avoir une preuve de cette conjecture et même d'une généralisation (le théorème des nombres polygonaux (en), finalement démontré par Cauchy en 1813) et proclama son intention d'écrire un livre qui révolutionnerait cette partie de l'arithmétique[1], mais aucun livre ne parut[2].

Euler travailla sur ce sujet à partir de 1730 et publia en 1751 une démonstration qu'il reconnaissait incomplète[3].

Le théorème fut démontré en 1770 par Joseph Louis Lagrange[2].

Adrien-Marie Legendre l'améliora en 1797-8, en prouvant qu'un entier positif est somme de trois carrés si et seulement s'il n'est pas de la forme 4k(8m + 7). Ceci résout complètement le problème de Waring pour k = 2.

La preuve classique[modifier | modifier le code]

Différentes versions[4],[5],[6] (très similaires) de la preuve classique de Lagrange se trouvent facilement dans la littérature moderne. La preuve présentée ici[7] en est une version légèrement simplifiée (on évite de considérer séparément les cas où m est pair et impair).

D'après l'identité des quatre carrés d'Euler (et le fait que le théorème est vrai pour les nombres 1 et 2), il suffit de démontrer le lemme principal ci-dessous. On utilise pour cela un premier lemme (qui est un cas particulier élémentaire d'un théorème de Chevalley[8]) :

Lemme préliminaire — Pour tout nombre premier[9] impair p, il existe des entiers naturels a et b tels que p divise 1 + a2 + b2.

Lemme principal — Tout nombre premier impair est somme de quatre carrés.

Démonstration basée sur les quaternions de Hurwitz[modifier | modifier le code]

Une autre preuve[10] du lemme principal ci-dessus (à partir du lemme préliminaire) utilise l'anneau unitaire (intègre mais non commutatif) des quaternions de Hurwitz, également appelés entiers de Hurwitz, qui sont les quaternions de la forme

a1+b{\rm i}+c{\rm j}+d{\rm k},\quad (a,b,c,d)\in\Z^4\cup(\tfrac12+\Z )^4.

Fonctions arithmétiques[modifier | modifier le code]

Les fonctions arithmétiques permettent d'obtenir des résultats plus généraux. Si on pose r_4(n) comme étant le nombre de façon de décomposer n sous forme d'une somme de 4 carrés, on obtient le résultat suivant :

\sum_{n=0}^{\infty}{r_4(n)x^n} = \left( \sum_{n=0}^{\infty}{x^{n^2}} \right)^4,\quad{\rm pour}\quad|x| < 1.

Moyennant l'utilisation des séries de Lambert, on en déduit le théorème suivant, dit théorème de Jacobi :

\forall n \in\N^*\quad r_4(n) = 8 \sum_{d|n, d \not\equiv 0[4]}d.

Par exemple, 1 n'est divisible que par lui-même, qui n'est pas congru à 0 modulo 4. Donc r4(1) = 8. Trois des 8 formes sont :

1=1^2+0^2+0^2+0^2, 1=0^2+1^2+0^2+0^2, 1=(-1)^2+0^2+0^2+0^2.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Paul Tannery et Charles Henry, Œuvres de Fermat, t. 3, 1896, p. 252 : Commentaire de Bachet sur IV, 31.
  2. a et b Lagrange, « Démonstration d'un théorème d'arithmétique », Nouveaux mémoires de l'Académie royale des sciences et belles-lettres de Berlin, 1770, p. 123-133Œuvres complètes, tome 3, p. 189-201.
  3. (en) Leonard Eugene Dickson, History of the Theory of Numbers (en) [détail des éditions], vol. 2, chap. 8 : Sum of Four Squares.
  4. Théorèmes 166 à 169 de : (de) E. Landau, Vorlesungen über Zahlentheorie, New York, Chelsea, 1927. Second edition translated into English by Jacob E. Goodman, Providence RH, Chelsea, 1958.
  5. Théorème 369 de : (en) G. H. Hardy et E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers [détail des éditions], Oxford, Clarendon Press, 1938.
  6. Paragraphe 5.7 de : (en) Ivan Niven et Herbert S. Zuckerman, An Introduction to the Theory of Numbers, John Wiley and Sons, 1960.
  7. (en) Harold Davenport, The Higher Arithmetic: An Introduction to the Theory of Numbers, CUP,‎ 1999 (1re éd. 1952) (lire en ligne), p. 125-126. Il est intéressant de remarquer que la formulation légèrement différente de la preuve de Davenport fait appel à la méthode de descente infinie, plutôt qu'à celle de la contradiction directe comme (en) Hans Rademacher et Otto Toeplitz, The Enjoyment of Mathematics, PUP,‎ 1966, 7e éd. (1re éd. 1933) (ISBN 978-0-691-02351-9, lire en ligne), p. 58-60.
  8. Davenport 1999, p. 125.
  9. Ce résultat s'étend à tout nombre impair m, non nécessairement premier : voir par exemple (en) Harold Davenport, « The geometry of numbers », Math. Gazette (en), vol. 31,‎ 1947, p. 206-210. Davenport ne donne pas la preuve mais indique : « This is proved by simple considerations relating to quadratic residues when m is a prime p, then by induction on v when m = pv, and finally by combination of these results it follows for general m. »
  10. (en) John Stillwell, Elements of Number Theory, Springer,‎ 2003 (lire en ligne), détaille cette approche (chap. 8) et mentionne (p. 148) qu'on peut aussi la trouver dans Hardy et Wright (1979) et dans Samuel (1970).

Articles connexes[modifier | modifier le code]