Duplication du cube

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La duplication du cube est un problème classique de mathématiques. C'est un problème géométrique, faisant partie des trois grands problèmes de l'Antiquité, avec la quadrature du cercle et la trisection de l'angle. Ce problème consiste à construire un cube, dont le volume est deux fois plus grand qu'un cube donné, à l'aide d'une règle et d'un compas. Cela revient donc à multiplier l'arête du cube par \sqrt[3]2.

Le problème a son origine dans une légende rapportée par Ératosthène dans Le Platonicien et par Théon de Smyrne[1] dans son Arithmétique. Les Déliens, victime d'une épidémie de peste, demandèrent à l'oracle de Delphes comment faire cesser cette épidémie. La réponse de l'oracle fut qu'il fallait doubler l'autel consacré à Apollon, autel dont la forme était un cube parfait. Les architectes allèrent trouver Platon pour savoir comment faire. Ce dernier leur répondit que le dieu n'avait certainement pas besoin d'un autel double, mais qu'il leur faisait reproche, par l'intermédiaire de l'oracle, de négliger la géométrie.

La question intéressa nombre de mathématiciens, par exemple Hippias d'Élis, Archytas de Tarente, Ménechme, Eudoxe de Cnide, Hélicon de Cyzique et Eutocios d'Ascalon. Plusieurs solutions furent proposées par intersection de coniques ou par intersection de figures spatiales, par exemple Archytas proposa l'intersection entre un cône et un tore. D'Alembert écrivit en 1760 qu'aucune solution plane ne fut trouvée avec la seule utilisation de la règle et du compas[2].

En 1837, Pierre-Laurent Wantzel établit un théorème donnant la forme des équations des problèmes solubles à la règle et au compas. Il démontre que \sqrt[3]2 n'est pas constructible. La duplication du cube est donc impossible à réaliser à la règle et au compas. Elle devient possible avec des méthodes plus puissantes, telles que l'utilisation de la règle graduée et du compas, ou par pliage de papier.

La relation entre la construction géométrique et la théorie algébrique est développée dans Nombre constructible. Les démonstrations algébriques se trouvent dans Tour d'extension quadratique.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

  1. Théon de Smyrne, De l'utilité des mathématiques, Cahiers d'Histoire des Mathématiques et d'Epistémologie, IREM de Poitiers, fascicule 1, déc. 1997, p.9
  2. D'Alembert écrivit en 1760 dans son Encyclopédie, Les Géomètres cherchent depuis deux mille ans une méthode pour trouver géométriquement deux moyennes proportionnelles entre deux lignes données, c'est-à-dire, en n'employant que la ligne droite et le cercle ; car du reste ce problème est abondamment résolu ; et particulièrement la résolution que l'on en donne par les sections coniques, en faisant, par exemple, qu'un cercle et une parabole s'entrecoupent suivant une certaine loi, est une solution très géométrique de ce problème. En le réduisant à une équation algébrique, il paroît impossible qu'on le résolve jamais avec le seul secours de la ligne droite et du cercle ; car on arrive toujours à une équation du troisième degré, qu'il n'est pas possible de construire avec la ligne droite et le cercle. Les anciens résolvoient ce problème méchaniquement par le moyen du mésolabe décrit par Eutocios : et plusieurs d'entr'eux ont tâché d'en donner la démonstration : d'autres, comme Ménechme, résolvoient ce problème par les lieux solides : d'autres, par des mouvements composés, comme Platon, Archytas, Pappos et Sporos : d'autres enfin, en tâtonnant, comme Héron et Apollonios de Perga.