Problème des contacts

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Figure 1 : Une solution (en rose) au problème d'Apollonius. Les trois cercles donnés sont en noir.
Figure 2 : Quatre paires de solutions (rose, jaune, turquoise et gris) complémentaires au problème d'Apollonius apparaissent ; les cercles donnés sont en noir.

En mathématiques, et plus précisément en géométrie, le problème des contacts, appelé également problème d'Apollonius ou problème des trois cercles, est un des grands problèmes de l'Antiquité grecque. Il s'agit de trouver un cercle tangent à trois cercles donnés de rayons différents.

Ce problème a été présenté par Pappus comme étant le dixième et le plus difficile du Traité des contacts, un des ouvrages perdus d'Apollonius. En effet, il faudra attendre 1600 pour sa résolution par François Viète qui montrera qu'il admet au maximum huit solutions. Pour cela dans l'Apollonius Gallus, il va résoudre les dix problèmes présentés ci-dessous (sans traiter les cas particuliers).

Description[modifier | modifier le code]

Le Traité des contacts, ouvrage perdu d'Apollonius, se proposait de déterminer des cercles astreints à trois conditions prises parmi celles qui consistent à passer par un point donné, ou à être tangent à une droite ou un cercle donné, ce qui correspond à dix problèmes désignés par les symboles PPP, DDD, PPD, PPC... en représentant un point par P, une droite par D et un cercle par C. Les solutions esquissées ci-dessous sont celles de Viète.

  • Le problème 1, PPP, est résolu avec le cercle circonscrit dont le centre est le point d'intersection des médiatrices du triangle.
  • Le problème 2, DDD, a pour solutions les cercles inscrit et exinscrits lorsque les droites forment un triangle. Viète le traitera de façon isolée.
  • Le problème 3, PPD, se ramène au problème 1 en utilisant des angles inscrits.
  • Le problème 4, PPC, se trouve grâce à l'introduction d'un cercle intermédiaire.
  • Le problème 5, PDD, se ramène au problème 4 en introduisant le symétrique du point par rapport à une bissectrice des deux droites.
  • Le problème 6, PCC, se ramène au problème 4 en trouvant un deuxième point situé sur la droite joignant le point donné à un des centres de similitude des deux cercles.
  • Le problème 7, PDC, se ramène au problème 3 grâce à un point intermédiaire
  • Le problème 8, DDC, se ramène au problème 5 par la méthode des translations en déplaçant les droites d'une longueur égale au rayon du cercle.
  • Le problème 9, DCC, se ramène au problème 7 en remplaçant le plus grand des cercles par un cercle ayant pour rayon la somme ou la différence des rayons de ces deux cercles et l'on déplace la droite parallèlement à elle-même d'une longueur égale au rayon du petit cercle.
  • Le problème 10, CCC, se ramène au problème 6 en substituant aux deux plus grands cercles, des cercles concentriques dont les rayons différent d'une quantité égale au rayon du plus petit cercle ; c'est souvent ce dernier problème seul, le plus difficile, qui est appelé problème d'Apollonius.

Le problème sera généralisé par Descartes en 1643.

Constructions de tangentes et de cercles tangents[modifier | modifier le code]

Cette section décrit les constructions classiques à la règle et au compas des points de contacts ou des centres cherchés, en utilisant des configurations faisant intervenir l'homothétie (dans le cas de deux droites) ou l'inversion (dans le cas de deux cercles) ; elle commence par rappeler les constructions de tangentes (qu'on peut voir comme des cas particuliers des problèmes de contacts, en considérant les droites comme des cercles de rayon infini). Les solutions au problème d'Apollonius s'en déduisent aisément à l'aide des indications données précédemment.

Tangente en un point du cercle[modifier | modifier le code]

D'un point A situé sur un cercle de centre O on peut mener une tangente à ce cercle en traçant la perpendiculaire en A au rayon [OA].

Tangente cercle.svg

Tracer le point B symétrique de O par rapport à A et puis la médiatrice de [BO].

Tangentes à un cercle passant par un point donné[modifier | modifier le code]

D'un point M extérieur à un cercle, on peut mener deux tangentes à ce cercle ; elles touchent le cercle en A et B et on a MA = MB. La droite (OM) est un axe de symétrie de la figure, c'est la bissectrice de l'angle AMB.

Circle's tangents.svg

Construction d'Euclide

Étant donné un cercle (c) de centre O et un point M à l'extérieur du cercle, les points de contact A et B des tangentes issues de M sont les points d'intersection du cercle (c) et du cercle de diamètre [MO].

Cercle tangent à deux droites passant par un point donné[modifier | modifier le code]

On donne deux droites (d1), (d2) sécantes et un point A n'appartenant pas à ces droites. Existe-t-il un cercle passant par A tangent à ces deux droites ?

Cercle tg 2 droites.svg

Construction

Placer un point J sur la bissectrice de (d1, d2) située dans le même secteur angulaire que le point A et tracer le cercle (c), passant par H projection orthogonale de J sur la droite (d1). Ce cercle est tangent aux deux droites.

Étant donné un cercle (c), la droite (IA) rencontre (c) en deux points A1 et A2. La droite parallèle à (A1J) passant par A rencontre (IJ) en O1. Le cercle (c1), de centre O1 passant par A, est tangent à (d1) et (d2).

De même, la droite parallèle à (A2J) passant par A rencontre (IJ) en O2. Le cercle (c2), de centre O2 passant par A, est la deuxième solution du problème.

Cercle tangent à deux cercles[modifier | modifier le code]

On donne deux cercles (c1), (c2) de centres O1, O2, de rayons différents r1 et r2. Étudier les cercles (c) tangents à ces deux cercles ?

Similitude CC.svg

Il existe deux homothéties H(S, r1/r2) et H(S', -r1/r2) transformant (c1) en (c2).

Les points S et S' centres d'homothéties des cercles sont les points qui partagent le segment [O1O2] dans le rapport r1/r2.

Si un cercle (c) est tangent aux cercles (c1), (c2) en T et T', la droite (TT') qui joint les points de contact passe par un centre d'homothétie. La puissance p du centre d'homothétie par rapport au cercle (c) variable est constante.

p = ST × ST' = ST × ST1 × ST'/ST1 = ST × ST1 × r2/r1.

On obtient la puissance du point S par rapport au cercle (c1) multiplié par le rapport des rayons. Si U et U' sont les points d'intersection de (c1) et (c2) avec la ligne des centres, la puissance du point S par rapport au cercle de diamètre [UU'] est p = SU × SU'.

Le cercle (c) est globalement invariant par l'inversion de centre S de puissance p.

Liens externes[modifier | modifier le code]