« Système de fonctions itérées » : différence entre les versions

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Attracteur de deux similitudes $z'={\frac {(4+i)z+4}{10}}$ et $z'={\frac {(4+7i){\bar {z}}+5-2i}{10}}$ .

En mathématiques, un système de fonctions itérées (SFI ou encore IFS, acronyme du terme anglais Iterated Function System) est un outil pour construire des fractales. Plus précisément, l'attracteur d'un système de fonctions itérées est une forme fractale autosimilaire faite de la réunion de copies d'elle-même, chaque copie étant obtenue en transformant l'une d'elles par une fonction du système.

La théorie a été formulée lors d'un séjour à l'université de Princeton par John Hutchinson en 1980^[1]. Michael Barnsley a démontré, avec le théorème du collage, que tout ensemble compact de points peut être approximé d'un SFI.

Définition

Un SFI est une famille $S$ de $N$ fonctions contractantes $T_{i}:M\to M$ dans un espace métrique complet $M$ ^[2]^,^[3].

On définit à partir des $T i$ une nouvelle fonction $T$ , elle aussi contractante sur $({\mathcal {H}}(M),h)$ , l'ensemble des parties compactes de $M$ muni de la distance de Hausdorff, par l'expression $T(A)=\bigcup _{i=1}^{N}T_{i}(A)$ , appelée opérateur de Hutchinson de $S$ ^[1].

$({\mathcal {H}}(M),h)$ est un espace métrique complet^[4].

Le théorème du point fixe de Banach assure l'existence et l'unicité d'un sous-ensemble $F$ de $M$ fixe par $T$ .

$F$ est appelé attracteur du SFI et noté $| S |$ .

Remarques

En pratique, on choisit un compact quelconque $K$ , par exemple un point, et on considère la suite $(K, T (K), T (T (K)), ...)$ , autrement dit l'orbite de $K$ ^[5]. Il est remarquable que cette suite converge alors, pour n'importe quel compact $K$ , vers $| S |$ . C'est de là que vient le terme d'itéré^[6].
La plupart des fonctions des SFI classiques sont des fonctions affines^[7]^,^[8]^,^[6].
On appelle flammes fractales des fractales obtenues par des fonctions non linéaires^[9].

Exemple

Considérons les deux homothéties définies sur ${\mathbb {R}}$ par $f_{1}(x)={\frac {x}{3}},f_{2}(x)={\frac {x+2}{3}}$ . Les deux ont pour rapport ${\frac {1}{3}}$ . La première a pour centre $0$ et la deuxième $1$ . ${\mathbb {K}}_{3}$ , l'ensemble triadique de Cantor vérifie alors ${\mathbb {K}}_{3}=f_{1}({\mathbb {K}}_{3})\cup f_{2}({\mathbb {K}}_{3})$ . La famille de contractions est ici $\{f_{1},f_{2}\}$ et ${\mathbb {K}}_{3}$ en est l'attracteur^[10].

Caractère d’auto similarité

En reprenant les notations précédentes, il doit être précisé que l'on applique le théorème du point fixe dans l'espace métrique complet $K (ℝ n)$ des compacts non vides de $ℝ n$ , muni de la distance de Hausdorff. Ainsi, $F$ est lui-même un espace compact non vide de $ℝ n$ , c'est-à-dire un fermé borné. Il doit aussi être précisé en quoi $F$ est une fractale. En réécrivant l'égalité $T (F) = F$ , est obtenu : $F=\bigcup _{i=1}^{N}T_{i}(F)$ . C'est l'égalité qui traduit l'intuition obtenue en observant bon nombre d'attracteurs de systèmes de fonctions itérées (la courbe de Lévy par exemple, l'ensemble de Cantor, le triangle de Sierpinski^[11]...). Le caractère d'autosimilarité est ici parfaitement définissable mathématiquement, et au moins exploitable dans le cadre restreint des attracteurs de systèmes de fonctions itérées. C'est celle choisie par John Hutchinson dès la première page de son article de 1980^[1].

Dimension de la fractale

De la construction du SFI, on peut déduire la dimension de Hausdorff de la fractale finale : si l'application $T i$ est contractante de rapport $k i$ , et que $T i$ (| $S$ |) est disjoint de $T j$ (| $S$ |), pour tous $i, j \leq N$ distincts, alors la dimension de $S$ est le réel $d$ vérifiant : $\sum _{i=1}^{N}k_{i}^{d}=1.$

Une riche source de fractales

C'est en ces termes que Michael Barnsley explique l'intérêt du théorème suivant^[12] :

Théorème — Soit $(Y, d)$ un espace métrique. Soit $X$ un compact non vide de $Y$ . Soit $H (X)$ l'ensemble des compacts non vides de $X$ . Soit $f : X \to Y$ continue et telle que $X$ soit contenue dans $f (X)$ . Alors

pour tout compact non vide $B$ de $X$ , $f -1 (B)$ est un compact non vide de $X$ et l'on peut donc définir une application $W : H (X) \to H (X)$ par $W (B) = f -1 (B)$
$W$ possède un point fixe $A$ donné par

A=\lim _{n\rightarrow +\infty }W^{n}(X)=\lim _{n\rightarrow +\infty }\underbrace {W\circ W\circ ...\circ W} _{n}(X).

On a aussi $A=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }f^{-n}(X).$

Exemples

Le cas $f (z) = z 2$ fournit le disque unité.
Le cas $f (z) = z 2 - 1$ fournit l'ensemble de Julia rempli associé, noté^[13] $J -1$ . On peut prendre pour $X$ le carré de centre 0 et de côté 4.

On a^[12], de façon générale, $A=\left\{x\in X\mid \forall n=0,1,2...f^{n}(x)\in X\right\}$ . Autrement dit, $A$ est l'ensemble des points dont l'orbite ne s'échappe pas de $X$ , où l'on appelle^[5] orbite d'un point $x\in X$ la suite $(x, f (x), f 2 (x), ...)$ .

Exemples d'attracteurs classiques

L'ensemble de Cantor

Le tapis de Sierpiński, défini par 8 similitudes de rapports 1/3.
La fougère de Barnsley, construite à partir de quatre contractions affines (rouge, bleu, cyan et vert sur l'illustration).
La courbe de Takagi, attracteur d'une paire de contractions affines qui sont des composées de transvection avec une homothétie de rapport 1/2^[14].
La courbe de Koch et la courbe de Cesaro.
L'escalier du diable^[15]
La courbe de Hilbert^[16].
La courbe de Lévy
La courbe du dragon
L'éponge de Menger
Un arbre fractal^[17]

Références

↑ ^{a b et c} (en) John E. Hutchinson, « Fractals and self similarity », Indiana Univ. Math. J., vol. 30,‎ 1981, p. 713-747 (DOI 10.1512/iumj.1981.30.30055, lire en ligne) (p. 714) : « My special thanks to Frederick J. Almgren for making possible my stay at Princeton university ».
↑ Robert Ferréol, « attracteur d'une famille de contractions », sur mathcurve, 2011 (consulté le 19 décembre 2018).
↑ « afc », sur Tangente (magazine), 2011 (consulté le 19 décembre 2018).
↑ Michael F.Barnsley, Fractals everywhere, Academic Press Professional, 1993 (ISBN 0-12-079061-0, 978-0-12-079061-6 et 0-12-079069-6, OCLC 28025975, lire en ligne), p. 35
↑ ^{a et b} Claude Tricot, Géométries et mesures fractales : une introduction, Paris, Ellipses, 2008, 439 p. (ISBN 978-2-7298-4045-7, OCLC 377976458), p. 4, p. 36.
↑ ^{a et b} Florence Messineo, Le monde fascinant des objets fractals, Ellipses (ISBN 978-2-340-00812-0), p. 93.
↑ (en) « Fractal Visualizations ».
↑ « Système itéré de fonctions ».
↑ (en) S. Draves et E. Reckase, « The Fractal Flame Algorithm », 2003.
↑ (en) Gerald A. Edgar, Measure, topology, and fractal geometry, Springer, 2008 (ISBN 0-387-74748-6, 978-0-387-74748-4 et 978-0-387-74749-1, OCLC 255688131, lire en ligne), p. 7
↑ (en) Gerald A. Edgar, Measure, Topology, and Fractal Geometry, Springer, 2008 (ISBN 978-1-4419-2569-5, OCLC 255688131), p. 27.
↑ ^{a et b} M. F. Barnsley, Fractals Everywhere, Academic Press, 1993 (ISBN 0-12-079069-6, OCLC 28025975), p. 268 et 287.
↑ Robert Ferréol, « Ensemble de Julia », sur mathcurve.
↑ Robert Ferréol, « Courbe du blancmanger », sur mathcurve (consulté le 12 janvier 2018).
↑ Robert Ferréol, « Escalier du diable », sur mathcurve (consulté le 12 janvier 2018).
↑ Robert Ferréol, « Courbe de Hilbert », sur mathcurve (consulté le 12 janvier 2018).
↑ Robert Ferréol, « arbre fractal », sur mathcurve (consulté le 1^er décembre 2018).

Voir aussi

Article connexe

Jeu du chaos, une version simplifiée proposée par Barnsley.

Liens externes

Logiciels

Apophysis, générateur de fractales supportant des fonctions non linéaires.
Glito, programme libre permettant d'explorer les SFI de dimension 2 (applications affines, fonction sinusoïdales, ensemble de Julia).
Générateur de SFI en ligne, proposant des systèmes de fonctions itérées classiques, et permettant également de créer des SFI inédits.

Bibliographie

(en) Kenneth Falconer, Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications, Chichester, John Wiley and Sons, 1990, 288 p. (ISBN 0-471-92287-0), p. 113-117 et 136

Portail des mathématiques

[:5-1] {a b et c} (en) John E. Hutchinson, « Fractals and self similarity », Indiana Univ. Math. J., vol. 30,‎ 1981, p. 713-747 (DOI 10.1512/iumj.1981.30.30055, lire en ligne) (p. 714) : « My special thanks to Frederick J. Almgren for making possible my stay at Princeton university ».

[2] Robert Ferréol, « attracteur d'une famille de contractions », sur mathcurve, 2011 (consulté le 19 décembre 2018).

[3] « afc », sur Tangente (magazine), 2011 (consulté le 19 décembre 2018).

[4] Michael F.Barnsley, Fractals everywhere, Academic Press Professional, 1993 (ISBN 0-12-079061-0, 978-0-12-079061-6 et 0-12-079069-6, OCLC 28025975, lire en ligne), p. 35

[:6-5] {a et b} Claude Tricot, Géométries et mesures fractales : une introduction, Paris, Ellipses, 2008, 439 p. (ISBN 978-2-7298-4045-7, OCLC 377976458), p. 4, p. 36.

[:7-6] {a et b} Florence Messineo, Le monde fascinant des objets fractals, Ellipses (ISBN 978-2-340-00812-0), p. 93.

[:3-7] (en) « Fractal Visualizations ».

[:4-8] « Système itéré de fonctions ».

[9] (en) S. Draves et E. Reckase, « The Fractal Flame Algorithm », 2003.

[10] (en) Gerald A. Edgar, Measure, topology, and fractal geometry, Springer, 2008 (ISBN 0-387-74748-6, 978-0-387-74748-4 et 978-0-387-74749-1, OCLC 255688131, lire en ligne), p. 7

[:0-11] (en) Gerald A. Edgar, Measure, Topology, and Fractal Geometry, Springer, 2008 (ISBN 978-1-4419-2569-5, OCLC 255688131), p. 27.

[:1-12] {a et b} M. F. Barnsley, Fractals Everywhere, Academic Press, 1993 (ISBN 0-12-079069-6, OCLC 28025975), p. 268 et 287.

[13] Robert Ferréol, « Ensemble de Julia », sur mathcurve.

[14] Robert Ferréol, « Courbe du blancmanger », sur mathcurve (consulté le 12 janvier 2018).

[15] Robert Ferréol, « Escalier du diable », sur mathcurve (consulté le 12 janvier 2018).

[16] Robert Ferréol, « Courbe de Hilbert », sur mathcurve (consulté le 12 janvier 2018).

[17] Robert Ferréol, « arbre fractal », sur mathcurve (consulté le 1^er décembre 2018).

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 == Exemple ==
+Considérons les deux homothéties définies sur <math>\Bbb R</math> par <math>f_1(x)=\frac{x}{3}, f_2(x)=\frac{x+2}{3}</math>. Les deux ont pour rapport <math>\frac{1}{3}</math>. La première a pour centre <math>0</math> et la deuxième <math>1</math>. <math>\Bbb K_3</math>, l'[[Ensemble de Cantor|ensemble triadique de Cantor]] vérifie alors <math>\Bbb K_3=f_1(\Bbb K_3)\cup f_2(\Bbb K_3)</math>. La famille de contractions est ici <math>\{f_1,f_2\}</math> et <math>\Bbb K_3</math> en est l'attracteur<ref>{{Ouvrage|langue=anglais|prénom1=Gerald A.|nom1=Edgar|titre=Measure, topology, and fractal geometry|passage=7|éditeur=Springer|date=2008|isbn=0-387-74748-6|isbn2=978-0-387-74748-4|isbn3=978-0-387-74749-1|oclc=255688131|lire en ligne=https://www.worldcat.org/oclc/255688131|consulté le=2022-07-09}}</ref>.
-Considérons les deux homothéties
 == Caractère d’auto similarité ==

v · m Fractales
Caractéristiques	Dimensions fractales Assouad Minkowski-Bouligand Hausdorff Récursivité Autosimilarité
Système de fonctions itérées	Fougère de Barnsley Ensemble de Cantor Flocon de Koch Éponge de Menger Arbre de Pythagore Tapis de Sierpiński Triangle de Sierpiński Fractale de Vicsek Courbes Blanc-manger Cesàro De Rahm Dragon Dragon d'or Gosper Hilbert Koch Lebesgue Lévy Courbe remplissante courbe de Peano remplissant le flocon de Koch Sierpiński
Attracteur étrange	Multifractale
L-Système	Canopée fractale Courbe remplissante Arbre en H
Création	Burning ship Julia Dendrite Lapin de Douady Liapounov Mandelbrot Multibrot Newton Tricorne (en) Mandelbox Mandelbulb
Techniques de rendu photoréaliste	Buddhabrot Piège orbital (en) Trognon de Pickover (en)
Fractales aléatoires	Mouvement brownien Terrain fractal Théorie de la percolation Chemin auto-évitant
Personnalités	Georg Cantor Felix Hausdorff Gaston Julia Helge von Koch Paul Lévy Alexandre Liapounov Benoît Mandelbrot Lewis Fry Richardson Wacław Sierpiński
Liste de fractales par dimension de Hausdorff Art fractal La Théorie du chaos (livre)