Application contractante

En mathématiques, et plus particulièrement en analyse, une application contractante est une application $k$-lipschitzienne avec $0\leq k <1$. Le théorème de point fixe le plus simple et le plus utilisé concerne les applications contractantes.

Théorème du point fixe pour une application contractante

Théorème du point fixe pour une application contractante — Soit $E$ un espace métrique complet (non vide) et $f$ une application contractante de $E$ dans $E$. Il existe un point fixe unique $x^*$ de $f$ dans $E$, c'est-à-dire tel que $f(x^*)=x^*$. De plus toute suite d'éléments de E vérifiant la récurrence $x_{n+1}=f(x_n)$ converge vers $x^*$.

Démonstration

Soit $(E,d)$ un espace métrique complet non vide et soit $f:E \rightarrow E$ une application contractante de rapport $k$, avec $0\leq k <1$.

Existence

Soit $x_0\in E$ et soit $(x_n)_{n \in \mathbb N}$ la suite définie par son premier terme ($x_0$) et la récurrence $x_{n+1}=f(x_n)$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. Il s'agit d'une suite de Cauchy de $E$. En effet,

$\forall m \in \mathbb N^*,\ d(x_{m+1},x_m)=d(f(x_m),f(x_{m-1}))\le k d(x_m,x_{m-1});$

et par récurrence

$d(x_{m+1},x_m) \le k^m d(x_1,x_0).$

On en déduit par application réitérée de l'inégalité triangulaire :

$\begin{array}{ll} \forall n \in \mathbb N,\ \forall p \in \mathbb N^*,\ d(x_{n+p},x_n) & \le d(x_{n+1},x_n)+d(x_{n+2},x_{n+1})+\ldots+d(x_{n+p},x_{n+p-1})\\ & \le (k^n+k^{n+1}+\ldots+k^{n+p-1}) d(x_1,x_0)\\& \le \displaystyle k^n\frac {1-k^p}{1-k} d(x_1,x_0) \quad (*).\end{array}$

Ce dernier membre tend vers zéro quand $n$ tend vers l'infini, donc on a bien une suite de Cauchy.

Comme $E$ est complet, cette suite de Cauchy converge vers une limite $x^*$. De plus de $x_{n+1}=f(x_n)$, on déduit en passant à la limite et en utilisant la continuité de $f$ (car c'est une application lipschitzienne) que $f(x^*)=x^*$, ce qui montre l'existence.

Unicité

Soit $x^*$ et $x^{**}$ deux points fixes de f. On a alors

$0\leq d(x^*,x^{**}) = d(f(x^*),f(x^{**}))\leq k d(x^*,x^{**}).$

Et puisque $0\leq k <1$, on a alors $0\leq (1-k)d(x^*,x^{**}) \leq 0$, d'où $d(x^*,x^{**})=0$, puis $x^*=x^{**}$, ce qui montre l'unicité.

 

Ce théorème est souvent mentionné comme Théorème du point fixe de Banach, qui l'a énoncé en 1922 dans le cadre de la résolution d'équations intégrales.

Approximations successives

Ce résultat donne un algorithme de calcul du point fixe (c'est la méthode des approximations successives) contrairement à d'autres théorèmes de point fixe qui nous assurent seulement de l'existence de points fixes sans indiquer comment les déterminer. De plus en passant à la limite pour $p$ dans l'inégalité (*) et en utilisant la continuité de la distance $d$, on obtient (sans connaître exactement $x^*$) un majorant (souvent "pessimiste") de l'erreur:

$d(x^*,x_n) \leq \frac {k^n}{1-k} d(x_1,x_0).$

Remarquons que si on note $k_n$ le rapport de Lipschitz de l'itérée $n$ fois de l'application $f$ on a majoré $k_n$ par $k^n$. Cette majoration est souvent très mauvaise, ce qui explique que la majoration précédente de $d(x^*,x_n)$ soit souvent pessimiste. On peut alors énoncer un théorème du point fixe légèrement modifié qui permet d'aboutir à de meilleures majorations (par exemple dans le cas de la résolution des équations différentielles)

Théorème du point fixe modifié — Soit $E$ un espace métrique complet (non vide) et $f$ une application de $E$ dans $E$. On suppose que pour tout entier $n$ l'application obtenue en itérant $n$ fois la fonction $f$ est lipschitzienne de rapport $k_n$ et que la série de terme général $k_n$ est convergente. Alors il existe un point fixe unique $x^*$ de $f$ dans $E$, c'est-à-dire tel que $f(x^*)=x^*$. De plus toute suite d'éléments de E vérifiant la récurrence $x_{n+1}=f(x_n)$ converge vers $x^*$.

Dans ce cas on a la majoration

$d(x^*,x_n) \leq \left(\sum_{i=n}^{\infty}k_i\right)d(x_1,x_0).$

Applications classiques

• Résolution d'équations numériques, voir notamment méthode de Newton
• Résolution approchée de systèmes linéaires par itération
• Résolution d'équations différentielles : théorème de Cauchy-Lipschitz
• Théorème des fonctions implicites

Articles connexes

• Application non expansive
• Émile Picard