Loi commutative
En mathématiques, et plus précisément en algèbre générale, une opération binaire est commutative si l'ordre des opérandes ne change pas le résultat. L'addition est commutative (4+3 = 7 et 3+4 = 7 aussi). De même la multiplication est commutative : comme le montre le schéma de droite, 3×2 = 2×3 = 6. Il y a des opérations qui ne sont pas commutatives. Par exemple, la soustraction n'est pas commutative (4 - 3 = 1 alors que 3 - 4 = -1).
Définition
[modifier | modifier le code]Une loi de composition interne sur un ensemble E est dite commutative si pour tous x et y dans E,
En notant , la commutativité se traduit par le diagramme commutatif suivant :
Ce diagramme se lit de la manière suivante. L'application associe à deux opérandes le résultat de l'application de l'opération . Ainsi, la flèche diagonale associe à (x, y) le résultat . La flèche horizontale étiquetée par <p2, p1> consiste à échanger les opérandes. Elle associe à (x, y) le couple (y, x). Enfin la flèche verticale, étiquetée par m également, associe donc à (y, x) le résultat . Le fait que les deux flèches étiquetées par m arrivent sur le même sommet signifie qu'il y a égalité .
Exemples
[modifier | modifier le code]L'addition et la multiplication des entiers naturels sont des lois commutatives. L'addition et la multiplication des nombres réels et des nombres complexes, l'addition des vecteurs, l'intersection et la réunion des ensembles en sont également.
À l'inverse, la soustraction, la division, la multiplication des matrices, la composition d'applications et la multiplication des quaternions sont des lois non commutatives.
Histoire
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Certains écrits de l'Antiquité utilisent implicitement des propriétés de commutativité. Les Égyptiens utilisaient la commutativité de la multiplication pour simplifier les calculs de produits[1],[2]. Euclide, dans ses Éléments, avait aussi supposé la commutativité de la multiplication[3]. La définition formelle de la commutativité a émergé à la fin du XVIIIe et au début du XIXe siècle, lorsque les mathématiciens ont commencé à construire une théorie des fonctions. Aujourd'hui, la propriété de commutativité est considérée comme une propriété basique, utilisée dans la plupart des branches des mathématiques.
La première apparition du terme « commutatif » remonte à un article aux Annales de Gergonne écrit par François-Joseph Servois en 1814[4],[5],[6], où celui-ci étudiait les propriétés de fonctions qui commutent entre elles (par composition). L'expression commutative law (en anglais) est ensuite apparue en 1838 sous la plume de Duncan Farquharson Gregory[7], dans un article intitulé « On the real nature of symbolical algebra » publié en 1840 dans les Transactions of the Royal Society of Edimbourg[8].
Structures à lois commutatives
[modifier | modifier le code]Les structures suivantes ont pour point commun d'être décrites par la donnée d'une ou plusieurs lois internes dont on exige la commutativité :
- les groupes commutatifs (on dit aussi « groupes abéliens ») ;
- les anneaux commutatifs ;
- les corps commutatifs.
Éléments permutables
[modifier | modifier le code]Soit S un ensemble muni d'une loi de composition interne . Deux éléments x et y de S sont dits permutables lorsque :
On dit aussi que x et y commutent.
Ainsi, est commutative si et seulement si deux éléments quelconques de S sont toujours permutables.
Notes et références
[modifier | modifier le code]- (en) Beatrice Lumpkin The Mathematical Legacy Of Ancient Egypt - A Response To Robert Palter, 1997 (prépublication décrivant les connaissances mathématiques des civilisations anciennes), p. 11.
- (en) R. Gay Robins et Charles C. D. Shute, The Rhind Mathematical Papyrus: An Ancient Egyptian Text, Londres, British Museum, 1987 (ISBN 0-7141-0944-4) (traduction et interprétation du Papyrus Rhind), p. ?[réf. incomplète].
- (en) John J. O'Connor et Edmund F. Robertson, « The real numbers: Pythagoras to Stevin », sur MacTutor, université de St Andrews.
- Servois, « Analise transcendante. Essai sur un nouveau mode d'exposition des principes du calcul differentiel », Annales de Gergonne, vol. 5, no 4, , p. 93-140.
- (en) Julio Cabillón et Jeff Miller, Earliest Known Uses Of Mathematical Terms, Commutative and Distributive.
- (en) John J. O'Connor et Edmund F. Robertson, « François Joseph Servois », sur MacTutor, université de St Andrews.
- Raymond Flood (dir.), Adrian Rice (dir.) et Robin Wilson (dir.), Mathematics in Victorian Britain, OUP, (présentation en ligne), p. 4
- (en) D. F. Gregory, « On the real nature of symbolical algebra », Transactions of the Royal Society of Edimbourg, vol. 14, , p. 208-216 (lire en ligne).
