Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet

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Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet
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Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet.
Naissance
Düren (Premier Empire)
Décès (à 54 ans)
Göttingen (Royaume de Hanovre)
Nationalité Drapeau de l'Allemagne Allemand
Domaines Mathématiques
Institutions Université Humboldt de Berlin
Université de Breslau
Université de Göttingen
Diplôme Université de Bonn
Étudiants en thèse Gotthold Eisenstein
Leopold Kronecker
Rudolf Lipschitz
Carl Wilhelm Borchardt
Renommé pour Fonction êta de Dirichlet
Série de Dirichlet
Distinctions Pour le Mérite

Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (prononcé /lə.ˈʒœn di.ʀi.ˈkleː/[1]) (, Düren - , Göttingen) est un mathématicien allemand qui a apporté de profondes contributions à la théorie des nombres, en créant le domaine de la théorie analytique des nombres, et à la théorie des séries de Fourier et d'autres sujets en analyse mathématique; il est crédité d'être l'un des premiers mathématiciens à donner la définition formelle moderne d'une fonction.

Biographie[modifier | modifier le code]

Jeunesse (1805–1822)[modifier | modifier le code]

Gustav Lejeune Dirichlet est né le 13 février 1805 à Düren, une ville située sur la rive gauche du Rhin qui faisait alors partie du Premier Empire français et qui retourna en Prusse après le Congrès de Vienne en 1815. Son père Johann Arnold Lejeune Dirichlet, était maître des postes et commerçant. Son grand-père paternel avait émigré à Düren au départ de Richellette, un village au voisinage de Liège en Belgique, d'où son patronyme « Lejeune Dirichlet » (« le jeune de Richellette »)[2].

Bien que sa famille n'est pas riche et qu'il est le plus jeune de sept enfants, ses parents soutenaient son éducation. Ils l'ont inscrit dans une école primaire puis dans une école privée dans l'espoir qu'il deviendrait plus tard un commerçant. Le jeune Dirichlet, qui a montré un fort intérêt pour les mathématiques dès l'âge de 12 ans, a convaincu ses parents de lui permettre de poursuivre ses études. En 1817, ils l'ont envoyé au Gymnasium Bonn sous la garde de Peter Joseph Elvenich, un étudiant que sa famille connaissait. En 1820, Dirichlet déménage au Gymnasium des Jésuites de Cologne, où ses leçons avec Georg Ohm lui permettent d'approfondir ses connaissances en mathématiques. Il a quitté le gymnasium un an plus tard avec seulement un certificat, car son incapacité à parler couramment le Latin l'a empêché de recevoir l'Abitur[3].

Études à Paris (1822–1826)[modifier | modifier le code]

Dirichlet a de nouveau convaincu ses parents de fournir un soutien financier supplémentaire pour ses études en mathématiques, contre leur désir d'une carrière en droit. Comme l'Allemagne offrait peu d'opportunités d'étudier les mathématiques supérieures à l'époque, avec seulement Gauss à l'Université de Göttingen, théoriquement professeur d'astronomie, et détestait l'enseignement, Dirichlet décida d'aller à Paris en mai 1822. Il suivit des cours au Collège De France et à la Faculté des sciences de Paris, en apprenant les mathématiques de Hachette entre autres, tout en entreprenant l'étude privée des Disquisitiones Arithmeticae de Gauss, un livre qu'il a gardé toute sa vie. En 1823, il a été recommandé au général Foy, qui l'a embauché en tant que tuteur privé pour enseigner à ses enfants allemand, le salaire permettant enfin à Dirichlet de devenir indépendant du soutien financier de ses parents[4].

Sa première recherche, comprenant une partie d'une démonstration du dernier théorème de Fermat pour le cas n = 5, lui valut une renommée immédiate, première avancée dans le théorème depuis la preuve de Fermat du cas n = 4 et la preuve d'Euler pour n = 3 . Adrien-Marie Legendre, l'un des referees, a ensuite complété sa preuve; Dirichlet a complété sa propre preuve peu de temps après Legendre, et quelques années plus tard, a produit une preuve complète pour le cas n = 14[5]. En juin 1825, il fut accepté pour donner une conférence sur sa preuve partielle du cas n = 5 à l'Académie des Sciences, un exploit exceptionnel pour un étudiant de 20 ans sans diplôme[3]. Sa conférence à l'Académie avait également mis Dirichlet en contact étroit avec Fourier et Poisson, qui se sont intéressés à la physique théorique, en particulier à la théorie analytique de la chaleur de Fourier.

Retour en Prusse (1825–1828)[modifier | modifier le code]

Comme le général Foy mourut en novembre 1825, et qu'il ne pouvait trouver aucune position rémunératrice en France, Dirichlet dut retourner en Prusse. Fourier et Poisson le présentèrent à Alexandre von Humboldt, qui avait été appelé à se joindre à la cour du roi Friedrich Wilhelm III. Humboldt, projetant de faire de Berlin un centre de science et de recherche, offrit immédiatement son aide à Dirichlet, envoyant des lettres en sa faveur au gouvernement prussien et à l'Académie royale des sciences de Prusse. Humboldt a également obtenu une lettre de recommandation de Gauss, qui, en lisant ses mémoires sur le théorème de Fermat, a écrit avec un nombre inhabituel d'éloges que « Dirichlet a montré un excellent talent »[6]. Avec le soutien de Humboldt et Gauss, Dirichlet s'est vu offrir un poste d'enseignant à l'Université de Wrocław. Cependant, n'ayant pas réussi sa thèse de doctorat, il soumit ses mémoires sur le théorème de Fermat comme thèse à l'Université de Bonn. De nouveau, son manque de maîtrise du Latin le rendait incapable de tenir une discussion publique nécessaire à sa thèse; Après de longues discussions, l'Université décida de contourner le problème en lui décernant un doctorat honorifique en février 1827. De plus, le ministre de l'Éducation lui accorda une dérogation pour la dispense en Latin requise pour l'Habilitation. Dirichlet a obtenu l'Habilitation et a enseigné en 1827/28 en tant que Privat-docent à Wrocław[3].Pendant son séjour à Wrocław, Dirichlet continua sa recherche sur la théorie des nombres, publiant des contributions importantes à la loi de réciprocité quadratique qui était à l'époque un point central de la recherche de Gauss. Alexander von Humboldt a profité de ces nouveaux résultats, qui avaient également provoqué des éloges enthousiastes de Friedrich Bessel, afin d'organiser pour lui le transfert souhaité à Berlin. Compte tenu du jeune âge de Dirichlet (il avait 23 ans à l'époque), Humboldt ne put lui obtenir qu'un poste d'essai à l'Académie de guerre de Prusse, tout en restant officiellement employé par l'Université de Wrocław. La probation a été prolongée de trois ans jusqu'à ce que le poste devienne définitif en 1831.

Berlin (1826–1855)[modifier | modifier le code]

Dirichlet a été marié en 1832 à Rebecka Mendelssohn. Ils ont eu deux enfants, Walter (né en 1833) et Flora (né en 1845). Dessin de Wilhelm Hensel, 1823.

Après avoir déménagé à Berlin, Humboldt a présenté Dirichlet aux grands salons tenus par le banquier Abraham Mendelssohn Bartholdy et sa famille. Leur maison était un lieu de rassemblement hebdomadaire pour les artistes et les scientifiques de Berlin, y compris les enfants d'Abraham, Felix et Fanny Mendelssohn, tous deux musiciens exceptionnels, et le peintre Wilhelm Hensel (le mari de Fanny). Dirichlet a montré un grand intérêt pour la fille d'Abraham, Rebecka Mendelssohn, qu'il a épousée en 1832. En 1833, leur premier fils, Walter, est né.

Dès son arrivée à Berlin, Dirichlet tient une conférence à l'université de Berlin, le ministre de l'Éducation approuve le transfert et, en 1831, l'affecta à la faculté de philosophie. La faculté l'oblige à entreprendre une qualification d'habilitation renouvelée, et bien que Dirichlet ait écrit une Habilitationsschrift au besoin, il a reporté l'enseignement obligatoire de Latin pendant encore 20 ans, jusqu'en 1851. Comme il n'avait pas rempli cette condition formelle, il est resté attaché à la faculté avec des droits très limités, le forçant à garder en parallèle son poste d'enseignant à l'école militaire. En 1832, Dirichlet devient membre de l'Académie des sciences de Prusse, le plus jeune membre à seulement 27 ans[3].

Dirichlet avait une bonne réputation auprès des étudiants pour la clarté de ses explications et appréciait l'enseignement, d'autant que ses conférences universitaires avaient tendance à être sur des sujets plus avancés dans lesquels il faisait des recherches: théorie des nombres, l'analyse et la physique mathématique. Il a surpervisé les thèses de plusieurs mathématiciens allemands importants, comme Gotthold Eisenstein, Leopold Kronecker, Rudolf Lipschitz et Carl Wilhelm Borchardt, tout en influençant la formation mathématique de nombreux autres scientifiques, y compris Elwin Bruno Christoffel, Wilhelm Weber, Eduard Heine, Ludwig von Seidel et Julius Weingarten. À l'académie militaire, Dirichlet réussit à introduire le calcul différentiel et intégral au programme, ce qui augmente considérablement le niveau d'éducation scientifique. Cependant, avec le temps, il commença à sentir que sa charge double d'enseignement, à l'académie militaire et à l'université, commençait à peser sur le temps disponible pour ses recherches[3].

Durant son séjour à Berlin, Dirichlet reste en contact avec d'autres mathématiciens. En 1829, lors d'un voyage, il rencontre Carl Jacobi, alors professeur de mathématiques à l'Université de Königsberg. Au fil des ans, ils ont continué à correspondre sur des questions de recherche, devenant ainsi des amis proches. En 1839, lors d'une visite à Paris, Dirichlet rencontra Joseph Liouville, les deux mathématiciens devint amis, restant en contact et se rendant même visite quelques années plus tard. En 1839, Jacobi envoya à Dirichlet un article d'Ernst Kummer, à l'époque instituteur. Réalisant le potentiel de Kummer, ils l'ont aidé à se faire élire à l'Académie de Berlin et, en 1842, obtenu pour lui un poste de professeur à l'Université de Wrocław. En 1840, Kummer épousa Ottilie Mendelssohn, une cousine de Rebecka.

En 1843, quand Jacobi tomba malade, Dirichlet se rendit à Königsberg pour l'aider, puis obtint pour lui l'aide du médecin personnel du roi Friedrich Wilhelm IV. Quand le médecin a recommandé à Jacobi de passer un peu de temps en Italie, il l'a rejoint lors de ce voyage avec sa famille. Ils ont été accompagnés en Italie par Ludwig Schläfli, qui est venu en tant que traducteur; Comme il était très intéressé par les mathématiques, Dirichlet et Jacobi lui ont donné des cours pendant le voyage, et il est devenu plus tard un mathématicien important[3]. La famille Dirichlet prolongea leur séjour en Italie jusqu'en 1845, leur fille Flora y étant née. En 1844, Jacobi a déménagé à Berlin en tant que retraité royal, leur amitié devenant encore plus importante. En 1846, lorsque l'Université de Heidelberg tenta de recruter Dirichlet, Jacobi fournit à von Humboldt le soutien nécessaire pour obtenir un doublement du salaire de Dirichlet à l'Université afin de le garder à Berlin; Cependant, il n'a pas été payé à un salaire de professeur et il ne pouvait pas quitter l'Académie militaire[7].

Ayant des vues libérales, Dirichlet et sa famille ont soutenu la révolution de 1848; il gardait même avec un fusil le palais du prince de Prusse. Après l'échec de la révolution, l'Académie militaire a fermé temporairement, ce qui lui a causé une grande perte de revenus. Quand il a rouvert, l'environnement lui est devenu plus hostile, car les officiers à qui il enseignait devaient être fidèles au gouvernement constitué. Une partie de la presse qui n'était pas avec en faveur de la révolution l'a souligné, ainsi que Jacobi et d'autres professeurs libéraux, comme le « contingent rouge du personnel »[3].

En 1849, Dirichlet participa, avec son ami Jacobi, au jubilé du doctorat de Gauss.

Göttingen (1855–1859)[modifier | modifier le code]

Malgré l'expertise de Dirichlet et les honneurs qu'il a reçus, et même si, en 1851, il avait finalement rempli toutes les conditions formelles d'un professeur, la question de son paiement à l'université traînait encore et il était toujours incapable de quitter l'Académie Militaire. En 1855, à la mort de Gauss, l'Université de Göttingen décida d'appeler Dirichlet comme son successeur. Compte tenu des difficultés rencontrées à Berlin, il a décidé d'accepter l'offre et a immédiatement déménagé à Göttingen avec sa famille. Kummer a été appelé à assumer sa position de professeur de mathématiques à Berlin[4].Dirichlet a apprécié son séjour à Göttingen, car sa charge d'enseignement allégée lui a permis de consacrer plus de temps à la recherche et de rester en contact étroit avec la nouvelle génération de chercheurs, en particulier Richard Dedekind et Bernhard Riemann. Après avoir déménagé à Göttingen, il a pu obtenir un paiement annuel pour Riemann afin de le retenir dans le personnel enseignant. Dedekind, Riemann, Moritz Cantor et Alfred Enneper, bien qu'ils aient tous déjà obtenu leur doctorat, ont assisté aux cours de Dirichlet pour étudier avec lui. Dedekind, qui sentait qu'il y avait des lacunes importantes à l'époque dans son éducation mathématique, considérait que l'occasion d'étudier avec Dirichlet faisait de lui « un nouvel être humain »[3]. Il a ensuite édité et publié les conférences de Dirichlet et d'autres résultats en théorie des nombres sous le titre Vorlesungen über Zahlentheorie (Conférences en théorie des nombres).

À l'été 1858, lors d'un voyage à Montreux, Dirichlet a subi une crise cardiaque. Le 5 mai 1859, il meurt à Göttingen, plusieurs mois après la mort de sa femme Rebecka[4]. L'Académie de Berlin l'a honoré avec un discours commémoratif officiel de Kummer en 1860, et a ordonné plus tard la publication de ses œuvres éditées par Kronecker et Lazarus Fuchs.

Recherches mathématiques[modifier | modifier le code]

Théorie des nombres[modifier | modifier le code]

La théorie des nombres était le principal intérêt de recherche de Dirichlet[8], un domaine dans lequel il a trouvé, et prouvé, plusieurs résultats profonds en introduisant quelques outils fondamentaux, dont beaucoup ont été nommés plus tard par son nom. En 1837, il publia le théorème de la progression arithmétique, utilisant des concepts d'analyse mathématique pour aborder un problème algébrique et ainsi créer la branche de la théorie analytique des nombres. En prouvant ce théorème, il introduit les caractères de Dirichlet et les fonctions L[8],[9]. En outre, il a noté la différence entre la convergence absolue et conditionnelle des séries et son impact dans ce qu'on a appelé plus tard le théorème de réarrangement de Riemann. En 1841, il généralisa son théorème des progressions arithmétiques des entiers à l'anneau des entiers de Gauss [3]. Entre 1838 et 1839, il a prouvé la première formule de nombre de classe, pour les formes quadratiques (plus tard affinées par son étudiant Kronecker). La formule, que Jacobi a décrit comme un résultat « touchant le plus grand sens de l'homme », a ouvert la voie à des résultats similaires en ce qui concerne les corps de nombres plus généraux[3]. Basé sur ses recherches de la structure du groupe des unités d'un anneau d'entiers quadratiques, il a prouvé le théorème de l'unité de Dirichlet, un résultat fondamental en théorie algébrique des nombres[9].

Il a d'abord utilisé le principe des tiroirs dans la démonstration d'un théorème en approximation diophantienne, plus tard nommé d'après le théorème d'approximation de Dirichlet. Il a publié des contributions importantes concernant le dernier théorème de Fermat, pour lequel il a prouvé les cas n = 5 et n = 14, et à la loi de réciprocité quadratique[3]. Le problème du diviseur de Dirichlet reste un problème non résolu en théorie des nombres, malgré les nombreuses contributions de chercheurs.

Analyse[modifier | modifier le code]

Dirichlet a trouvé, et prouvé, les conditions de convergence pour une décomposition en série de Fourier. Sur le graphique: les quatre premières approximations de la série de Fourier pour une onde carrée.

Inspiré par le travail de son mentor à Paris, Dirichlet a publié en 1829 un mémoire célèbre donnant les conditions sur des fonctions pour déterminer si la série de Fourier converge[10]. Avant la solution de Dirichlet, non seulement Fourier, mais aussi Poisson et Cauchy avaient tenté sans succès de trouver une preuve rigoureuse de convergence. Le mémoire a souligné l'erreur de Cauchy, et a présenté le test de Dirichlet pour la convergence de séries. Il introduit aussi la fonction de Dirichlet comme exemple de fonction non intégrable (l'intégrale définie était encore un sujet en développement à l'époque) et, dans la démonstration du théorème de la série de Fourier, introduit le noyau de Dirichlet et l'intégrale de Dirichlet[11].Dirichlet a également étudié le problème aux limites, pour l'équation de Laplace, prouvant l'unicité de la solution; ce type de problème en théorie des équations aux dérivées partielles a été plus tard nommé le problème de Dirichlet[8].

Définition de fonction[modifier | modifier le code]

Tout en essayant de jauger la gamme des fonctions pour lesquelles la convergence de la série de Fourier peut être montrée, Dirichlet définit une fonction par la propriété « à tout x correspond un seul y fini  », mais restreint son attention aux fonctions continues par morceaux. Sur cette base, il est crédité d'introduire le concept moderne pour une fonction, par opposition à la compréhension vague plus ancienne d'une fonction comme une formule analytique[3].

Autres domaines[modifier | modifier le code]

Dirichlet a également travaillé en physique mathématique, en donnant des conférences et en publiant des travaux de recherche en théorie du potentiel, en théorie de la chaleur et en dynamique des fluides[8]. Il a amélioré le travail de Lagrange sur les systèmes conservateurs en montrant que la condition d'équilibre est que l'énergie potentielle soit minimale[12]. Bien qu'il n'ait pas beaucoup publié dans le domaine, Dirichlet a enseigné la théorie des probabilités et les moindres carrés, en introduisant des méthodes et des résultats originaux, en particulier pour les théorèmes limites et une amélioration de la méthode d'approximation de Laplace[13]. La loi de Dirichlet et le processus de Dirichlet, basés sur l'intégrale de Dirichlet, portent son nom.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

  1. (de) Dudenredaktion, Duden - Das Aussprachewörterbuch: Betonung und Aussprache von über 132.000 Wörtern und Namen [« Duden - Le Dictionnaire de prononciation : accent et prononciation de plus de 132 000 mots et noms »], vol. 6, coll. « Duden - Deutsche Sprache in 12 Bänden », (ISBN 9783411911516), p. 312.
  2. Jean-Pierre Escofier, Petites histoires des mathématiques, Dunod (lire en ligne), page 121
  3. a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k et l Jürgen Elstrodt, « The Life and Work of Gustav Lejeune Dirichlet (1805–1859) », Clay Mathematics Proceedings,‎ (lire en ligne [PDF])
  4. a, b et c Ioan Mackenzie James, Remarkable Mathematicians: From Euler to von Neumann, Cambridge University Press, , 103–109 p. (ISBN 978-0-521-52094-2)
  5. Steven Krantz, The Proof is in the Pudding: The Changing Nature of Mathematical Proof, Springer, , 55–58 p. (ISBN 978-0-387-48908-7)
  6. Cathérine Goldstein, Catherine Goldstein, Norbert Schappacher et Joachim Schwermer, The shaping of arithmetic: after C.F. Gauss's Disquisitiones Arithmeticae, Springer, , 204–208 p. (ISBN 978-3-540-20441-1)
  7. Ronald Calinger, Vita mathematica: historical research and integration with teaching, Cambridge University Press, , 156–159 p. (ISBN 978-0-88385-097-8)
  8. a, b, c et d Timothy Gowers, June Barrow-Green et Imre Leader, The Princeton companion to mathematics, Princeton University Press, , 764–765 p. (ISBN 978-0-691-11880-2)
  9. a et b Shigeru Kanemitsu et Chaohua Jia, Number theoretic methods: future trends, Springer, , 271–274 p. (ISBN 978-1-4020-1080-4)
  10. Lejeune Dirichlet, « Sur la convergence des séries trigonométriques qui servent à représenter une fonction arbitraire entre des limites données », Journal für reine und angewandte Mathematik, vol. 4,‎ , p. 157–169 (lire en ligne)
  11. David M. Bressoud, A radical approach to real analysis, MAA, , 218–227 p. (ISBN 978-0-88385-747-2)
  12. Remco Leine et Nathan van de Wouw, Stability and convergence of mechanical systems with unilateral constraints, Springer, (ISBN 978-3-540-76974-3), p. 6
  13. Hans Fischer, « Dirichlet's contributions to mathematical probability theory », Historia Mathematica, Elsevier, vol. 21, no 1,‎ , p. 39–63 (DOI 10.1006/hmat.1994.1007, lire en ligne)