Méthode de descente infinie

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La méthode de descente infinie est un argument mathématique voisin du raisonnement par récurrence, mais aussi du raisonnement par l'absurde, qui utilise le fait qu'une suite d'entiers naturels strictement décroissante est nécessairement finie. Cette méthode repose sur l'une des propriétés des entiers naturels : « tout ensemble non vide d'entiers naturels possède un plus petit élément. »

Principe[modifier | modifier le code]

Soit P(n) une propriété faisant intervenir un entier naturel n. On cherche à démontrer que P(n) est fausse pour tout n. Pour cela on suppose que pour un entier n quelconque, P(n) est vraie. Par un argument mathématique à préciser dans chaque cas, on montre que si P(n) est vraie, alors P(m) est également vraie pour un entier m strictement inférieur à n. On peut alors conclure que P(n) n'est jamais vraie car la suite des entiers naturels vérifiant la propriété P(n) ne peut jamais être strictement décroissante et infinie.

Cette méthode sert essentiellement à démontrer qu'il n'existe pas de nombre entier répondant à une certaine propriété, en construisant une nouvelle solution entière strictement plus petite que la précédente (en un sens à préciser dans chaque cas). Si une supposition induit la possibilité de l'existence d'une suite infinie et strictement décroissante d'entiers naturels alors cette supposition est fausse : en effet on construirait ainsi un entier qui serait plus petit que le plus petit des entiers répondant au problème posé.

Exemples[modifier | modifier le code]

  • Proposons-nous de démontrer l'irrationnalité de la racine (carrée) de 2, sans utiliser de théorèmes relatifs à la décomposition des nombres en facteurs.
Si la racine de 2 était un nombre rationnel, il existerait deux nombres entiers naturels non nuls x et y tels que x2 - 2y2 = 0. On vérifie immédiatement qu'alors, 2y > x > y. Posons x' = 2y - x, et y' = x - y; en particulier, x' et y' sont strictement positifs. Il vient x'2 - 2 y'2 = 2y2 - x2 = 0. Mais x' = y - (x - y) < y < x.
Ainsi de suite, on pourrait créer une suite infinie x, x' , ... strictement décroissante d'entiers strictement positifs vérifiant (1). C’est absurde ; donc il n'existe pas d'entiers naturels non nuls x et y tels que x2 - 2y2 = 0, prouvant par là l'irrationnalité de la racine de 2.
  • La généralisation directe de l'exemple précédent à la preuve d'une proposition similaire concernant la racine des nombres non carrés parfaits est plus difficile mais possible: le changement de variable démontrant l'irrationnalité de la racine de n (n non carré parfait) est ici x' = ny - [n]x, et y' = x - [n]y, où [n] est la partie entière de la racine de n.
  • Montrons qu'un carré ne saurait se décomposer en somme de deux bicarrés, autrement dit que l'équation z2 = x4 + y4 est impossible en nombres entiers. On voit facilement qu'on peut supposer pour la démonstration que x, y et z sont strictement positifs et premiers entre eux, quitte à diviser l'équation par le PGCD4 de x et y.
Ainsi, (x2, y2, z) est un triplet pythagoricien primitif. En vertu de la formule bien connue des triplets pythagoricien, on a nécessairement z = m2 + n2, x2 = 2mn, et y2 = m2 - n2, avec m et n strictement positifs et premiers entre eux (on a supposé que x est pair et y impair, ce qui est licite par symétrie). Pour que l'équation y2 = m2 - n2 soit satisfaite, il faut que m soit impair et n soit pair, car l'inverse est impossible, comme on le voit modulo 4. Puisque 2mn est un carré, if vient m = u2 et n = 2v2.
On a donc z > u4u > 0, et y2 = u4 - 4v4, ou bien u4 = 4v4 + y2.
On voit par cette dernière équation que (2v2, y, u2) est encore un triplet pythagoricien primitif. On applique à nouveau la formule des triplets, ce qui donne 2v2 = 2rs, et u2 = r2 + s2, avec r et s premiers entre eux. Puisque 2rs est le double d'un carré, on a nécessairement r = k2 et s = l2. Cela conduit finalement à u2 = k4 + l4. Autrement dit, on a partagé un carré, u2, en somme de deux bicarrés, quoique ce carré soit strictement positif et plus petit que z2 (puisque z > u). La descente infinie permet alors de conclure.
  • La méthode de descente infinie peut aussi être utilisée avec des nombres rationnels, celle-ci s'effectuant souvent sur le dénominateur, ou bien sur le maximum du numérateur et du dénominateur[1]. Ainsi une telle méthode peut être utilisée pour montrer qu'un cercle d'équation \scriptstyle x^2+y^2=N avec \scriptstyle N un entier passe par un point de coordonnées \scriptstyle (x,y) avec \scriptstyle x,y des nombres rationnels si, et seulement si, il passe par un point \scriptstyle (n,m) avec \scriptstyle n,m des nombres entiers[2]. Le raisonnement se fait par l'absurde en supposant qu'il existe des points du cercle de coordonnées rationnelles et pas de point de coordonnées entières. En partant d'un point du cercle de coordonnées rationnelles \scriptstyle (\frac{p}{r},\frac{q}{r}), on choisit un point de coordonnées entières dont la distance à ce point soit inférieure à 1. On trace une droite joignant ces deux points et on calcule les coordonnées \scriptstyle (\frac{p'}{r'},\frac{q'}{r'}) de l'autre point d'intersection de cette droite avec le cercle. Le fait que les deux points initiaux soient distants de moins de 1 permet de prouver que le dénominateur de ce nouveau point est un entier \scriptstyle r' < r. Cela créerait alors une descente infinie d'entiers naturels[3].

Formulation moderne[modifier | modifier le code]

La méthode de descente infinie, exposée ci-dessus, est généralement présentée sous une autre forme dans les mathématiques modernes; plutôt que de montrer l'absurdité d'une assertion dont dépend un nombre strictement positif m, en prouvant qu'elle impliquerait une assertion similaire dont dépend un nombre strictement positif plus petit m et ainsi de suite, on préfère considérer a priori le nombre strictement positif m minimal qui dépend d'une telle assertion, en la supposant possible; on se sert alors exactement du même argument de descente que dans l'argument précédent pour montrer que cela impliquerait un nombre n inférieur à m dépendant d'une assertion similaire, ce qui contredit la minimalité de m.

Par exemple, reprenons la démonstration de l'irrationnalité de 2 dans la section "Exemples" ci-dessus. S'il existait deux nombres strictement positifs x et y tels que x2 - 2y2 = 0, alors parmi tous les couples de tels nombres, il en existerait un tel que x soit minimal. Le reste de la démonstration est un coupé-collé de la démonstration exposée précédement: On vérifie immédiatement que dans ce cas, 2y > x > y. Posons x' = 2y - x, et y' = x - y; en particulier, x' et y' sont strictement positifs. Il vient x'2 - 2 y'2 = 2y2 - x2 = 0. Mais x' = y - (x - y) < y < x. On a donc un nouveau couple (x' , y' ) satisfaisant au problème, avec 0 < x' < x, en contradiction avec la minimalité de x.

On voit par là que les deux formulations sont équivalentes. Sous cette forme, la méthode de descente infinie entre dans une quantité innombrable de démonstrations concernant virtuellement tous les domaines des mathématiques. Contentons-nous de citer la démonstration du théorème d'indépendance linéaire des caractères d'Artin, exemple parmi tant d'autres de nombreux théorèmes d'Algèbre, de théorie des graphes, de théorie des nombres etc.

Bien plus, sous cette forme, la descente infinie se généralise au transfini, et fournit une méthode dite de "récurrence transfinie", dont la clé est la propriété que tout ensemble peut être muni d'un "bon ordre", c'est-à-dire d'une relation d'ordre telle que tout sous-ensemble non vide possède un élément minimal pour cet ordre. Par exemple, l'ordre usuel dans l'ensemble des nombres positifs est un bon ordre. La démonstration par récurrence transfinie consistera (ou plutôt équivaudra) alors à démontrer que si telle propriété était vraie, on pourrait construire un élément inférieur au plus petit élément de l'ensemble satisfaisant à cette propriété.

Enfin, on ne peut résister à la tentation d'ajouter que le principe de récurrence lui-même peut être vu comme une application de la méthode de descente infinie[4]. En effet le principe de récurrence énonce que si, pour une propriété P donnée, P(n) implique P(n+1), et si P(0) est vraie, alors P est vraie pour tout n. Cela peut se présenter sous la forme suivante: Si P n'était vraie pour tout entier n, il existerait un entier n strictement positif minimal pour lequel P n'a pas lieu (puisque P(0) a lieu). Mais P(n-1) implique P(n), donc P(n-1) ne peut avoir lieu, en contradiction avec la minimalité de n. On voit que le principe de récurrence est une conséquence du fait que l'ordre usuel des entiers positifs est un bon ordre.

Vue sous cet angle, la méthode de descente infinie apparait comme un des plus grands principes, sinon le plus grand, de la démonstration mathématique.

Histoire[modifier | modifier le code]

Cette méthode apparaît dans les Éléments d'Euclide; par exemple dans la preuve de la Proposition 31 du Livre 7, qui établit l'existence d'un diviseur premier de chaque nombre composé. C'est plus tard Pierre de Fermat qui la formule explicitement[5] et en fait un instrument important dans son programme pour la théorie des nombres entiers[6] ; elle apparaît en particulier dans sa preuve du théorème que la surface d'un triangle rectangle dont les côtés sont entiers ne peut être le carré d'un entier, preuve qui constitue son Observation 45 sur les Arithmétiques de Diophante et qui a été publiée pour la première fois en 1670, dans l'édition posthume de ces observations qu'en fit Samuel de Fermat. Ce théorème permet la démonstration du cas particulier n = 4 du dernier théorème de Fermat. Frénicle de Bessy se sert aussi de la méthode de descente infinie, d'après Fermat, dans son Traité des triangles rectangles en nombres, édité en 1676. Elle a été aussi utilisée par Euler pour établir la démonstration du théorème des deux carrés de Fermat, et dans de nombreuses recherches de théorie des nombres. Une variante a été mise en particulier en œuvre pour démontrer le théorème de Mordell-Weil selon lequel la structure des points à coordonnées rationnelles (ou plus généralement à coordonnées dans un corps de nombres) sur une courbe elliptique est un groupe abélien de type fini.

Notes et références[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

  1. Le maximum du numérateur et du dénominateur est souvent appelé la "hauteur" du nombre rationnel considéré
  2. M. Guinot, Arithmétique pour Amateurs, Tome 2, « Les resveries de Fermat », Aléas éditeurs, Lyon, 1993. Le résultat énoncé est dû à L. Aubry en 1912, soit avant la version souvent référencée comme théorème de Davenport-Cassels.
  3. Pour le détail de la démonstration voir ce devoir de préparation au CAPES
  4. l'inverse n'est pas vrai: les démonstrations par descente infinie ne peuvent en général s'effectuer par simple récurrence.
  5. « La descente infinie est un procédé démonstratif dont le nom, sinon l'emploi, est dû à Pierre de Fermat. » Catherine Goldstein, « Descente infinie et analyse diophantienne : programmes de travail et mises en œuvres chez Fermat, Levi, Mordell et Weil », Cahiers du séminaire d'histoire des mathématiques, 2e série, vol. 3,‎ , p. 25-49 (lire en ligne).
  6. Lettre à Pierre de Carcavi, 1659

Références[modifier | modifier le code]

  • (en) W. H. Bussey, « Fermat's Method of Infinite Descent », Amer. Math. Monthly, vol. 25, 1918, p. 333-337, DOI:10.2307/2974148
  • (de) P. Bussotti, Der "unendliche Abstieg" von Fermat bis Gauß, Rauner, 2006
  • R. Cassinet, « Histoire de la descente infinie de Campanus à Hilbert », Cahier du séminaire d'histoire des mathématiques de Toulouse, n° 2, 1980, p. B1-B25

Article connexe[modifier | modifier le code]

Relation bien fondée