Noyau de Dirichlet

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Tracé des premiers noyaux de Dirichlet.

En mathématiques, et plus précisément en analyse, le n-ième noyau de Dirichlet — nommé ainsi en l'honneur du mathématicien allemand Johann Dirichlet — est le polynôme trigonométrique défini par :

.

C'est donc une fonction 2π-périodique de classe . Elle vérifie de plus :

  • si x n'est pas un multiple entier de , alors  ;
  • si x est un multiple entier de , alors .

Le noyau de Dirichlet permet notamment d'améliorer la convergence des séries de Fourier. Il intervient aussi en optique, pour rendre compte des franges et des compositions d'ondes cohérentes.

Considérations élémentaires[modifier | modifier le code]

Équivalence des deux écritures du noyau de Dirichlet[modifier | modifier le code]

Lorsque , c'est-à-dire lorsque x appartient à 2πℤ, le noyau de Dirichlet est la somme de 2n + 1 termes chacun égaux à 1, et vaut donc 2n + 1.

Lorsque , l'identité trigonométrique qui apparaît au début de l'article peut être établie par le calcul d'une somme d'une suite géométrique de raison et en utilisant la formule d'Euler[1].

Propriétés du noyau de Dirichlet[modifier | modifier le code]

.

Opérateur associé[modifier | modifier le code]

Le n-ième terme de la série de Fourier d'une fonction -périodique et intégrable s'écrit :

.

L'identité précédente est un produit de convolution, ou l'application d'un opérateur à noyau.

C'est à partir de cette expression et des propriétés du noyau de Dirichlet qu'on démontre le théorème de Dirichlet sur la convergence des séries de Fourier.

Cet opérateur est un opérateur borné sur l'espace des fonctions continues, dont la norme d'opérateur est majorée par .

En spécialisant l'étude en un point x particulier, l'application a pour norme d'opérateur lui-même, qui tend vers l'infini avec n. À l'aide du théorème de Banach-Steinhaus, on peut en déduire qu'il existe des fonctions continues dont la série de Fourier diverge au point x.

Introduction au formalisme des distributions[modifier | modifier le code]

Le noyau de Dirichlet est fois la somme d'ordre n du développement en série de Fourier du peigne de Dirac δp, qui est la distribution de période donnée par

où δ est la « fonction » delta de Dirac, qui en réalité n'est pas une fonction mais une distribution. En d'autres termes, le développement en série de Fourier de la distribution δp s'écrit

La distribution périodique δp est l'élément neutre pour le produit de convolution défini sur l'ensemble des fonctions de période par

Autrement dit,

pour toute fonction de période ,

Le produit de convolution de Dn avec n'importe quelle fonction de période est égal à la somme d'ordre n du développement en série de Fourier de , c.-à-d. qu'on a

est le k-ième coefficient de Fourier de .

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Dirichlet kernel » (voir la liste des auteurs).

  1. Le calcul détaillé figure dans le devoir corrigé « Intégrale de Dirichlet » sur la Wikiversité.

Articles connexes[modifier | modifier le code]