Calcul différentiel

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En mathématiques, le calcul différentiel est un sous-domaine de l'analyse qui étudie les variations locales de différentes quantités. C'est l'un des deux domaines traditionnels de l'analyse, l'autre étant le calcul intégral - l'étude de l'aire sous une courbe[1].

Les principaux objets d'étude en calcul différentiel sont la dérivée d'une fonction et des notions connexes telles que la différentielle et leurs applications. La dérivée d'une fonction en un point décrit le taux de variation de la fonction près de ce point. Le processus de recherche d'une dérivée s'appelle la dérivation. Géométriquement, la dérivée en un point d'une fonction à valeur réelle est la pente de la ligne tangente au graphique de la fonction en ce point. Plus généralement, la différentielle d'une fonction en un point détermine la meilleure approximation linéaire de la fonction autour de ce point.

Le calcul différentiel et le calcul intégral sont reliés par le théorème fondamental de l'analyse qui stipule que la dérivation est le processus inverse de l'intégration.

La dérivation a des applications dans presque tous les domaines quantitatifs.

En physique, la dérivée de la position d'un objet par rapport au temps est sa vitesse et la dérivée de la vitesse est l'accélération. D'après la deuxième loi de Newton, la dérivée du vecteur vitesse d'un objet par rapport au temps multiplié par la masse de cet objet est égale à la somme vectorielle des forces appliquées à cet objet, ce qui s'écrit mathématiquement .

En chimie, la vitesse d'une réaction est donnée par une dérivée de concentration des espèces impliquées.

En recherche opérationnelle, les dérivées permettent de déterminer les moyens les plus efficaces de transporter des matériaux et de concevoir des usines.

Les dérivées sont fréquemment utilisées pour trouver les maxima et minima d'une fonction. Les équations impliquant des dérivées sont appelées équations différentielles. Elles sont fondamentales pour décrire les phénomènes naturels. Les dérivées et leurs généralisations apparaissent dans de nombreux domaines des mathématiques, tels que l'analyse complexe, l'analyse fonctionnelle, la géométrie différentielle, la théorie des mesures et l'algèbre abstraite.

Dérivée[modifier | modifier le code]

En mathématiques, la dérivée d'une fonction d'une variable réelle mesure l'ampleur du changement de l’image de la fonction (valeur de sortie) par rapport à un petit changement de son argument (valeur d'entrée). Le calcul de dérivées est un outil fondamental du calcul infinitésimal. Par exemple, la dérivée de la position d'un objet en mouvement par rapport au temps est la vitesse (instantanée) de l'objet.

La dérivée d'une fonction est une fonction qui, à tout nombre pour lequel admet un nombre dérivé, associe ce nombre dérivé. La dérivée en un point d'une fonction de plusieurs variables réelles, ou à valeurs vectorielles, est plus couramment appelée différentielle de la fonction en ce point, et n'est pas traitée ici.

La dérivée d'une fonction en est usuellement notée ou .

Définition mathématique de la dérivée[modifier | modifier le code]

Soit une application de un intervalle réel dans l'ensemble des nombres réels. On dira que est dérivable en un point si la limite

existe. De plus - sous réserve de son existence, on appelle la dérivée de en , ce qui est noté ou encore .

Enfin, si pour tout la fonction admet une dérivée en on dira que est dérivable sur et on définira la fonction dérivée de l'application:

Le graphe d'une fonction arbitraire . La ligne orange est tangente à , ce qui signifie qu'en ce point exact, la pente de la courbe et la ligne droite sont les mêmes.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) « Definition of INTEGRAL CALCULUS », www.merriam-webster.com (consulté le )