Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet

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Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet
Description de cette image, également commentée ci-après
Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet.
Naissance
Düren (Premier Empire)
Décès (à 54 ans)
Göttingen (Royaume de Hanovre)
Nationalité Drapeau de l'Allemagne Allemand
Domaines Mathématiques
Institutions Université Humboldt de Berlin
Université de Breslau
Université de Göttingen
Diplôme Université de Bonn
Étudiants en thèse Gotthold Eisenstein
Leopold Kronecker
Rudolf Lipschitz
Carl Wilhelm Borchardt
Renommé pour Fonction êta de Dirichlet
Série de Dirichlet
Distinctions Pour le Mérite

Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (, Düren, Göttingen) est un mathématicien allemand qui apporta de profondes contributions à la théorie des nombres, en créant le domaine de la théorie analytique des nombres et à la théorie des séries de Fourier. On lui doit d'autres avancées en analyse mathématique. On lui attribue la définition formelle moderne d'une fonction.

Biographie[modifier | modifier le code]

Jeunesse (1805-1822)[modifier | modifier le code]

Gustav Lejeune Dirichlet naquit le 13 février 1805 à Düren, ville située sur la rive gauche du Rhin, faisant alors partie du Premier Empire français et qui retourna, en 1815, à la Prusse à la suite du Congrès de Vienne. Son père Johann Arnold Lejeune Dirichlet, était maître de poste et commerçant. Son grand-père paternel avait émigré à Düren depuis Richellette, un village près de Liège en Belgique, d'où son patronyme « Lejeune Dirichlet » (« le jeune de Richellette »)[1].

Bien que sa famille ne fût pas riche et qu'il fût le plus jeune de sept enfants, ses parents soutinrent son éducation et l'inscrivirent dans une école primaire, puis dans une école privée avec l'espoir qu'il devînt plus tard commerçant. Le jeune Dirichlet, après avoir montré un fort intérêt pour les mathématiques dès l'âge de douze ans, convainquit ses parents de lui permettre de poursuivre ses études. En 1817, ils l'envoyèrent au gymnasium de Bonn sous la tutelle de Peter Joseph Elvenich, un étudiant que sa famille connaissait. En 1820, Dirichlet fut transféré au gymnasium des Jésuites de Cologne, où les cours de Georg Ohm lui permirent d'approfondir ses connaissances en mathématiques. Il quitta le gymnasium un an plus tard avec seulement un certificat, car son inaptitude au latin l'empêchait d'obtenir l'abitur[2].

Études à Paris (1822-1826)[modifier | modifier le code]

Dirichlet convainquit ses parents de soutenir ses études de mathématiques, malgré leur désir d'une carrière de juriste. Comme l'Allemagne offrait, à l'époque, peu d'endroits où étudier les mathématiques, à l'exception de l'Université de Göttingen qui proposait les cours de Gauss, qui était, en théorie, professeur d'astronomie, et détestait l'enseignement, Dirichlet décida d'aller à Paris en mai 1822. Il y suivit des cours au Collège de France et à la Faculté des sciences, y apprenant les mathématiques avec Hachette entre autres, tout en entreprenant la lecture personnelle des Disquisitiones Arithmeticae livre qu'il garda toute sa vie. En 1823, il fut recommandé au général Foy, qui l'embaucha comme professeur d'allemand pour ses enfants, avec à la clé un salaire qui permettait enfin à Dirichlet de se libérer de la tutelle financière de ses parents[3].

Sa première recherche, à savoir la démonstration du dernier théorème de Fermat pour le cas n = 5, lui valut une renommée immédiate, car c'était la première avancée dans la démonstration de ce célèbre théorème depuis celle de Fermat du cas n = 4 et celle d'Euler du cas n = 3 . Adrien-Marie Legendre, l'un de ses premiers lecteurs, compléta sa démonstration ; puis Dirichlet compléta ensuite sa propre démonstration peu de temps après celle de Legendre, et quelques années plus tard, il produisit une démonstration complète pour le cas n = 14[4]. En juin 1825, il fut invité à donner une conférence sur sa démonstration partielle du cas n = 5 à l'Académie des Sciences, performance exceptionnelle pour un étudiant de 20 ans sans diplôme[2]. Cette conférence à l'Académie des Sciences permit à Dirichlet d'entrer en contact avec Fourier et Poisson, spécialistes de physique théorique, en particulier de la théorie analytique de la chaleur.

Retour en Prusse (1825-1828)[modifier | modifier le code]

Quand le général Foy mourut en novembre 1825, Dirichlet ne put trouver aucun emploi rémunérateur en France et dut retourner en Prusse. Fourier et Poisson le présentèrent à Alexandre von Humboldt, qui avait été appelé à la cour du roi Friedrich Wilhelm III. Humboldt, projetant de faire de Berlin un centre de science et de recherche, offrit immédiatement son aide à Dirichlet, envoyant des lettres de recommandation au gouvernement prussien et à l'Académie royale des sciences de Prusse. Humboldt obtint également une lettre de recommandation de Gauss, qui, après avoir lu ses mémoires sur le théorème de Fermat, fit des éloges nombreuses et inhabituelles, écrivant notamment que « Dirichlet avait démontré un excellent talent »[5]. Grâce au soutien de Humboldt et de Gauss, Dirichlet se vit offrir un poste d'enseignant à l'Université de Breslau. Cependant, n'ayant pas encore obtenu de thèse de doctorat, il soumit un mémoire sur le théorème de Fermat en vue de l'obtention d'une thèse à l'Université de Bonn. A nouveau, son manque de maîtrise du latin le rendit incapable de la défendre publiquement. Après de longues discussions, l'université décida de contourner le problème en lui décernant un doctorat honorifique en février 1827. De plus, le ministre de l'Éducation lui accorda une dérogation pour la défense en latin requise de son Habilitation. Dirichlet obtint une habilitation et enseigna en 1827/28 en tant que Privat-docent à Breslau (Wrocław)[2]. Pendant son séjour à Breslau, Dirichlet continua ses recherches sur la théorie des nombres, publiant des contributions importantes sur la loi de réciprocité quadratique qui était à l'époque le thème central de la recherche de Gauss. Alexander von Humboldt profita de ces nouveaux résultats, qui avaient également enthousiasmé Friedrich Bessel, pour organiser pour lui le transfert souhaité à Berlin. Compte tenu du jeune âge de Dirichlet (il avait 23 ans à l'époque), Humboldt ne put lui obtenir qu'une invitation provisoire à l'Académie de guerre de Prusse, tandis qu'il restait officiellement employé par l'Université de Breslau. L'invitation fut prolongée de trois ans jusqu'à ce que le poste devînt définitif en 1831.

Berlin (1826-1855)[modifier | modifier le code]

Dirichlet a été marié en 1832 à Rebecka Mendelssohn. Ils ont eu deux enfants, Walter (né en 1833) et Flora (née en 1845). Dessin de Wilhelm Hensel, 1823.

Après avoir emménagé à Berlin, Dirichlet fut présenté par Humboldt dans le salon du banquier Abraham Mendelssohn Bartholdy et de sa famille, point de rassemblement hebdomadaire des artistes et des scientifiques berlinois, parmi lesquels Felix Mendelssohn, Fanny Mendelssohn et Wilhelm Hensel, respectivement fils, fille et gendre d'Abraham, les deux premiers étant des musiciens exceptionnels, et le troisième, un peintre. Dirichlet montra un grand intérêt pour Rebecka Mendelssohn, la fille d'Abraham, qu'il épousa en 1832 et de laquelle naquit leur premier fils, Walter en 1833,.

Dès son arrivée à Berlin, Dirichlet se porta candidat à une maîtrise de conférence à l'université de Berlin, que le ministre de l'Éducation approuva et en 1831, il fut affecté à la faculté de philosophie. La faculté lui demanda alors de déposer une habilitation, et bien que Dirichlet ait rédigé un mémoire d'habilitation , il attendit 20 ans, c'est-à-dire l'année 1851, pour présenter celle-ci au cours d'une conférence en latin comme la coutume le requerrait. Jusqu'à ce qu'il eût rempli cette exigence, il resta attaché à la faculté avec des droits limités, l'obligeant à conserver en parallèle un poste d'enseignant à l'école militaire. En 1832, Dirichlet entra à l'Académie des sciences de Prusse, étant ainsi, à seulement 27 ans, le plus jeune membre cette institution[2].

Dirichlet avait une bonne réputation auprès de ses étudiants qui appréciaient la clarté de ses explications, la qualité de son enseignement, et la modernité des thèmes de ses conférences qui portaient souvent sur les domaines les plus avancés de ses recherches, à savoir la théorie des nombres, l'analyse et la physique mathématique. Il a dirigé les thèses de mathématiciens allemands proéminents, comme Gotthold Eisenstein, Leopold Kronecker, Rudolf Lipschitz et Carl Wilhelm Borchardt (en), tout en influençant la formation mathématique de nombreux autres scientifiques, comme Elwin Bruno Christoffel, Wilhelm Weber, Eduard Heine, Ludwig von Seidel et Julius Weingarten (en). À l'académie militaire, Dirichlet réussit à mettre au programme le calcul différentiel et intégral, ce qui accrut considérablement le niveau scientifique de celle-ci. Cependant, avec le temps, il commença à sentir que sa double charge d'enseignement, à l'académie militaire et à l'université, lui pesait et influait sur son temps de recherche[2].

Durant son séjour à Berlin, Dirichlet entra en contact avec d'autres mathématiciens. Ainsi, en 1829, lors d'un voyage, il rencontra Carl Jacobi, alors professeur de mathématiques à l'Université de Königsberg. Au fil des ans, ils continuèrent à correspondre sur des questions de recherche, devenant ainsi des amis proches. En 1839, lors d'une visite à Paris, Dirichlet rencontra Joseph Liouville, en particulier lors d'un dîner chez Cauchy[6], les deux mathématiciens devirent amis, entretenant des contacts réguliers et se rendant même visite quelques années plus tard[7]. En 1839, Jacobi envoya à Dirichlet un article d'Ernst Kummer, à l'époque encore instituteur. Réalisant le potentiel de Kummer, ils l'aidèrent à se faire élire à l'Académie de Berlin et, en 1842, obtinrent pour lui un poste de professeur à l'Université de Breslau. En 1840, Kummer épousa Ottilie Mendelssohn, une cousine de Rebecka.

En 1843, quand Jacobi tomba malade, Dirichlet se rendit à Königsberg pour l'aider, puis il obtint pour celui-ci une consultation par le médecin personnel du roi Friedrich Wilhelm IV. Quand le médecin recommanda à Jacobi de passer un peu de temps en Italie, Dirichlet l'y rejoignit avec sa famille.Ludwig Schläfli les accompagna en Italie, en tant que traducteur. Comme il était très intéressé par les mathématiques, Dirichlet et Jacobi lui donnèrent des cours, si bien qu'il devint un mathématicien renommé[2]. La famille Dirichlet resta en Italie jusqu'en 1845, leur fille Flora y naissant. En 1844, Jacobi déménagea à Berlin en tant que retraité royal, ce qui renforça leur amitié. En 1846, lorsque l'Université de Heidelberg tenta de recruter Dirichlet, Jacobi appuya von Humboldt pour obtenir un doublement du salaire de Dirichlet à l'université afin de le garder à Berlin. Cependant, ne recevant toujours pas un salaire de professeur, il ne pu pas quitter l'Académie militaire[8].

Ayant des opinions démocratiques, Dirichlet et sa famille soutinrent la révolution de 1848, allant jusqu'à garder avec un fusil le palais du prince de Prusse. Après l'échec de la révolution, l'Académie militaire ferma temporairement, causant à Dirichlet une perte de revenus. A sa réouverture, l'environnement lui était devenu hostile, car les officiers à qui il enseignait étaient des fidèles du gouvernement en place. Une partie de la presse hostile à la révolution prit Jacobi et lui, ainsi que d'autres professeurs ouverts aux idées nouvelles, pour cible, les taxant de « contingent rouge du corps enseignant »[2].

En 1849, Dirichlet participa, avec son ami Jacobi, à la célébration jubilé de Gauss.

Göttingen (1855-1859)[modifier | modifier le code]

Malgré la compétence de Dirichlet et les honneurs qu'il reçut, et même si, en 1851, il avait finalement rempli toutes les conditions exigées du professorat, sa nomination à l'université traînait en longueur, l'empêchant de quitter l'Académie militaire. En 1855, à la mort de Gauss, l'Université de Göttingen nomma Dirichlet comme successeur. Compte tenu des difficultés rencontrées à Berlin, il décida d'accepter immédiatement l'offre et déménagea sur le champ à Göttingen avec sa famille. Kummer fut alors appelé à lui succéder à Berlin[3]. Dirichlet apprécia son séjour à Göttingen, car sa charge d'enseignement allégée lui permettait de consacrer plus de temps à la recherche et de rester en contact étroit avec la jeune génération, en particulier Richard Dedekind et Bernhard Riemann. Après son emménagement à Göttingen, il put obtenir un traitement annuel pour Riemann afin de l'y retenir. Dedekind, Riemann, Moritz Cantor et Alfred Enneper, bien que docteurs, assistèrent aux leçons de Dirichlet. Ainsi Dedekind, qui sentait qu'il avait des lacunes importantes dans son éducation mathématique, considérait que l'occasion d'étudier avec Dirichlet feraient de lui « un homme nouveau »[2]. C'est lui qui, par la suite, a édité et publié les conférences de Dirichlet ainsi que d'autres résultats en théorie des nombres sous le titre Vorlesungen über Zahlentheorie (en) (Conférences en théorie des nombres)[9].

Pendant l'été 1858, lors d'un voyage à Montreux, Dirichlet eut une crise cardiaque et mourut, le 5 mai 1859, à Göttingen, quelques mois après sa femme Rebecka[3]. L'Académie de Berlin l'honora par un hommage officiel de Kummer[10] en 1860, et entreprit plus tard la publication de ses œuvres sous la conduite éditoriale de Kronecker et Lazarus Fuchs.

Recherches mathématiques[modifier | modifier le code]

Théorie des nombres[modifier | modifier le code]

La théorie des nombres était ce qui intéressait le plus Dirichlet[11]. C'est un domaine dans lequel il a démontré plusieurs résultats profonds , ce qui l'a conduit à introduire des outils fondamentaux, dont beaucoup sont aujourd'hui associés à son nom. En 1837, dans le théorème de la progression arithmétique, il utilisa des concepts d'analyse mathématique pour aborder un problème algébrique, créant ainsi la théorie analytique des nombres. En démontrant ce théorème, il introduisit les caractères de Dirichlet et les fonctions L[11],[12]. En outre, il a remarqué la différence entre la convergence absolue et la semi-convergence des séries et leur impact dans ce qu'on a appelé plus tard le théorème de réarrangement de Riemann. En 1841, il généralisa son théorème des progressions arithmétiques sur l'anneau des entiers à l'anneau des entiers de Gauss [2]. Dans plusieurs articles en 1838 et en 1839, il a démontré la première formule de nombre de classes, pour les formes quadratiques (plus tard améliorée par son étudiant Kronecker). La formule, que Jacobi qualifia de « summum de l'acumen humain », a ouvert la voie à des résultats similaires dans des corps de nombres plus généraux[2]. Fondé sur ses recherches de la structure du groupe des unités d'un anneau d'entiers quadratiques, il a démontré le théorème des unités de Dirichlet, un résultat fondamental en théorie algébrique des nombres[12].

Il a inventé le principe des tiroirs, dit parfois « principe de Dirichlet », dans la démonstration d'un théorème d'approximation diophantienne, aujourd'hui appelé théorème d'approximation de Dirichlet. Il a publié des contributions importantes sur le dernier théorème de Fermat, pour lequel il a démontré les cas n = 5 et n = 14, ainsi que sur la loi de réciprocité quartique (ou bicarrée) (en)[2]. Le problème du diviseur de Dirichlet (en) reste un problème ouvert en théorie des nombres, malgré de nombreuses tentatives.

Analyse[modifier | modifier le code]

Dirichlet a trouvé, et démontré, les conditions de convergence pour une décomposition en série de Fourier. Sur le graphique: les quatre premières approximations de la série de Fourier pour une onde carrée.

Inspiré par le travail de l'un des ses mentors parisiens, Dirichlet a publié en 1829 un mémoire célèbre qui donne des conditions sur les fonctions afin de déterminer si la série de Fourier converge[13]. Avant lui, non seulement Fourier, mais aussi Poisson et Cauchy avaient tenté sans succès de trouver une preuve de convergence rigoureuse. Le mémoire met en évidence une erreur de Cauchy et présente un test, appelé aujourd'hui test de Dirichlet, pour la convergence des séries. La fonction de Dirichlet, introduite dans cet article, est un exemple de fonction non intégrable (le concept d'intégrale définie étant encore embryonnaire à l'époque) et, dans la démonstration du théorème, l'auteur introduit le noyau de Dirichlet et l'intégrale de Dirichlet[14].Dirichlet a également étudié le problème aux limites, pour l'équation de Laplace, démontrant l'unicité de la solution; depuis, on appelle problème de Dirichlet ce type de problème en théorie des équations aux dérivées partielles[11].

Introduction du concept de fonction[modifier | modifier le code]

Alors qu'il essayait d'évaluer le domaine des fonctions pour lesquelles la convergence de la série de Fourier peut être démontrée, Dirichlet a été amené à définir une fonction par la propriété « à tout x correspond un seul y fini » et à restreindre son attention aux fonctions continues par morceaux. Sur cette base, on lui attribue l'introduction du concept moderne de fonction, alors qu'avant lui une fonction était vue comme une formule analytique vague[2].

Autres domaines[modifier | modifier le code]

Dirichlet a également travaillé en physique mathématique, en donnant des cours et en publiant des travaux de recherche en théorie du potentiel, en théorie de la chaleur et en dynamique des fluides[11]. Il a amélioré les travaux de Lagrange sur les lois de conservation en montrant que la condition d'équilibre est celle de la minimalité de l'énergie potentielle[15]. Bien qu'il n'ait pas beaucoup publié dans le domaine, Dirichlet a enseigné la théorie des probabilités et la méthode des moindres carrés, en introduisant des techniques et des résultats originaux, en particulier pour les théorèmes limites et pour la méthode d'approximation de Laplace qu'il a améliorée[16]. D'ailleurs, la loi de Dirichlet et le processus de Dirichlet, fondés sur l'intégrale de Dirichlet, portent son nom.

Notes et références[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

  1. Jean-Pierre Escofier, Petites histoires des mathématiques, Dunod (lire en ligne), page 121
  2. a b c d e f g h i j k et l Jürgen Elstrodt, « The Life and Work of Gustav Lejeune Dirichlet (1805–1859) », Clay Mathematics Proceedings,‎ (lire en ligne [PDF])
  3. a b et c Ioan Mackenzie James, Remarkable Mathematicians: From Euler to von Neumann, Cambridge University Press, , 103–109 p. (ISBN 978-0-521-52094-2)
  4. Steven Krantz, The Proof is in the Pudding: The Changing Nature of Mathematical Proof, Springer, , 55–58 p. (ISBN 978-0-387-48908-7)
  5. Cathérine Goldstein, Catherine Goldstein, Norbert Schappacher et Joachim Schwermer, The shaping of arithmetic: after C.F. Gauss's Disquisitiones Arithmeticae, Springer, , 204–208 p. (ISBN 978-3-540-20441-1)
  6. Colette Le Lay, « Une lettre de Joseph Liouville à Peter Gustave Lejeune Dirichlet (1854) », Images de mathématiques,‎ (lire en ligne)
  7. Jules Tannery, Correspondance entre Lejeune Dirichlet et Liouville, Gauthier-Villars, (lire en ligne)
  8. Ronald Calinger, Vita mathematica: historical research and integration with teaching, Cambridge University Press, , 156–159 p. (ISBN 978-0-88385-097-8)
  9. Edmund Landau, Vorlesungen über Zahlentheorie. Erster Band, zweiter Teil; zweiter Band; dritter Band., Chelsea Publishing Co, (1re éd. 1927) (Math Reviews 0250844)
  10. E. E. Kummer, « Gedächtnissrede auf Peter Gustav Lejeune Dirichlet », Abh Akad. Wiss. Berlin,‎ , p. 1-36
  11. a b c et d Timothy Gowers, June Barrow-Green et Imre Leader, The Princeton companion to mathematics, Princeton University Press, , 764–765 p. (ISBN 978-0-691-11880-2)
  12. a et b Shigeru Kanemitsu et Chaohua Jia, Number theoretic methods: future trends, Springer, , 271–274 p. (ISBN 978-1-4020-1080-4)
  13. Lejeune Dirichlet, « Sur la convergence des séries trigonométriques qui servent à représenter une fonction arbitraire entre des limites données », Journal für reine und angewandte Mathematik, vol. 4,‎ , p. 157–169 (lire en ligne)
  14. David M. Bressoud, A radical approach to real analysis, MAA, , 218–227 p. (ISBN 978-0-88385-747-2)
  15. Remco Leine et Nathan van de Wouw, Stability and convergence of mechanical systems with unilateral constraints, Springer, (ISBN 978-3-540-76974-3), p. 6
  16. Hans Fischer, « Dirichlet's contributions to mathematical probability theory », Historia Mathematica, Elsevier, vol. 21, no 1,‎ , p. 39–63 (DOI 10.1006/hmat.1994.1007, lire en ligne)

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]

En français[modifier | modifier le code]

  • Colette Le Lay, « Une lettre de Joseph Liouville à Peter Gustave Lejeune Dirichlet (1854) », Images de mathématiques,‎ (lire en ligne)
  • Jules Tannery, Correspondance entre Lejeune Dirichlet et Liouville, Gauthier-Villars, (lire en ligne)
  • René Taton, « Une lettre inédite de Dirichlet », Revue d'histoire des sciences et de leurs applications, t. 7, no 2,‎ (lire en ligne)

En anglais[modifier | modifier le code]